C

9000106901

Časť: 
C
Okamžitá poloha šikmo hore vrhnutého telesa je v homogénnom gravitačnom poli Zeme opísaná rovnicami: \[\begin{aligned} x & = v_{0}t\cdot \cos \alpha , & & \\y & = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1} {2}gt^{2}. & & \end{aligned}\] V prípade, že pohyb nieje brzdený odporovými silami, je jeho trajektóriou časť paraboly. Určte rovnicu paraboly, po ktorých častiach sa pohybuje teleso, ktoré je vrhnuté pod uhlom \(\alpha = 45^{\circ }\) počiatočnou rýchlosťou \(v_{0} = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Ťahové zrýchlenie zaokrúhlite na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\((x - 5)^{2} = -10\cdot (y - 2{,}5)\)
\((x - 5)^{2} = 10\cdot (y + 2{,}5)\)
\(x^{2} = -10\cdot (y - 5)\)
\((x - 5)^{2} = -10\cdot (y + 2{,}5)\)

9000106902

Časť: 
C
Planétka obieha okolo Slnka po eliptické trajektórii, pričom vzdialenosť v perihéliu je \(4{,}5\) AU (AU je tzv. astronomická jednotka, perihélium je miesto, v ktorom má planétka minimálnu vzdialenosť od Slnka) a excentricita elipsy je \(0{,}5\) AU. Určte, ktorá z ponúknutých rovníc vyjadruje túto elipsu v sústave súradníc, v jej strede bude Slnko a os „\(x\) ” bude určená hlavnou osou elipsy.
\(\frac{(x-0{,}5)^{2}} {25} + \frac{y^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{x^{2}} {25} + \frac{(y-0{,}5)^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{x^{2}} {25} + \frac{y^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{(x-0{,}5)^{2}} {24{,}75} + \frac{y^{2}} {25} = 1\)

9000106904

Časť: 
C
Grafom funkčnej závislosti dráhy na čase rovnomerne spomaleného pohybu je časť paraboly. Funkcia je určená rovnicou \(s = v_{0}t -\frac{1} {2}at^{2}\). Určte súradnice ohniska tejto paraboly, ak teleso začalo spomaľovať v čase \(t = 0\, \mathrm{s}\) a počiatočná rýchlosť telesa bola \(v_{0} = 16\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Spomalenie má hodnotu \(a = 4\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\([4;\ 31{,}875]\)
\([8;\ 31{,}875]\)
\([4;\ 63{,}5]\)
\([8;\ 63{,}5]\)

9000106307

Časť: 
C
Sú dané body \(A = [0;0;1]\) ; \(B = [2;0;-1]\) a \(S = [2;1;0]\). Určte parametrické vyjadrenie priamky, ktorá je s priamkou \(AB\) stredovo súmerná podľa bodu \(S\).
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}4 + t, & \\y& =\phantom{ -}2, \\z& = -1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& = 2 + 2m, & \\y& = 2 +\phantom{ 2}m, \\z& = 1 -\phantom{ 2}m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}4 + 2k, & \\y& =\phantom{ -}2 +\phantom{ 2}k, \\z& = -1 -\phantom{ 2}k;\ k\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& = -2 + 2u, & \\y& =\phantom{ -}2, \\z& =\phantom{ -}1 - 2u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000106303

Časť: 
C
Rovina \(\alpha \) je daná všeobecnou rovnicou: \(2x + y - z - 5 = 0\). Určte súradnice bodu \(A'\), ktorý je obrazom bodu \(A = [0;0;1]\) v rovinovej súmernosti podľa roviny \(\alpha \).
\(A' = [4;2;-1]\)
\(A' = [6;3;-2]\)
\(A' = [4;2;1]\)
\(A' = [0;0;1]\)

9000104503

Časť: 
C
Je daná rovnica s neznámou \(x\) a parametrom \(a\in\mathbb{R}\). \[\frac{a^{2}(x-1)} {ax-2} = 2\] Úplnú diskusiu riešenia rovnice vzhľadom k parametru \(a\) môžeme zapísať v tvare:
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=0 & \emptyset \\ a=2 & \mathbb{R}\setminus\{1\} \\ a\notin\{0;2\} & \left\lbrace\frac{a+2}a\right\rbrace \\\hline \end{array}\)
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a\in\{0;2\} & \mathbb{R} \\ a\notin\{0,2\} & \left\{\frac{a+2}a\right\} \\\hline \end{array}\)
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=0 & \emptyset \\ a=2 & \mathbb{R} \\ a\notin\{0;2\} & \left\lbrace\frac{a+2}a\right\rbrace \\\hline \end{array}\)
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=0 & \mathbb{R}\setminus\{1\} \\ a=2 & \emptyset \\ a\notin\{0;2\} & \left\lbrace\frac{a+2}a\right\rbrace \\\hline \end{array}\)

9000104504

Časť: 
C
Je daná rovnica s neznámou \(x\) a parametrom \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). \[\frac{1} {x-a} + 1 = \frac{1} {a}\] Úplnú diskusiu riešenia rovnice vzhľadom k parametru \(a\) môžeme zapísať v tvare:
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=1 & \emptyset \\ a\notin\{0,1\} & \left\lbrace\frac{a(a-2)}{a-1}\right\rbrace \\\hline \end{array}\)
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=1 & \mathbb{R}\setminus\{1\} \\ a\notin\{0;1\} & \left\lbrace\frac{a(a-2)}{a-1}\right\rbrace \\\hline \end{array}\)
\(\begin{array}{cc} \hline \text{Parameter} & \text{Množina riešení}\\ \hline a=1 & \mathbb{R} \\ a\notin\{0,1\} & \left\lbrace\frac{a(a-2)}{a-1}\right\rbrace \\\hline \end{array}\)

9000104801

Časť: 
C
Je daná hyperbola \(xy = -1\) a priamka \(p\), ktorá je rovnobežná s niektorou zo súradnicových osí. Zároveň vieme, že priamka \(p\) nie je so žiadnou zo súradnicových osí totožná. Potom môžme tvrdiť, že:
Priamka \(p\) má s danou hyperbolou spoločný práve jeden bod.
Priamka \(p\) má s danou hyperbolou spoločné práve dva body.
Priamka \(p\) nemá s danou hyperbolou spoločný žiadny bod.
Z daných informácií nie je možné jednoznačne určiť počet spoločných bodov danej hyperboly a priamky \(p\).

9000104803

Časť: 
C
Je daná hyperbola \(\frac{x^{2}} {16} -\frac{y^{2}} {4} = 1\) a priamka \(p\), ktorá je rovnobežná s niektorou zo súradnicových osí. Potom možno tvrdiť, že:
Z daných informácií nie je možné jednoznačne určiť počet spoločných bodov danej hyperboly a priamky \(p\).
Priamka \(p\) má s danou hyperbolou spoločné práve dva body.
Priamka \(p\) má s danou hyperbolou spoločný práve jeden bod.
Priamka \(p\) nemá s danou hyperbolou spoločný žiadny bod.

9000104805

Časť: 
C
Čo platí pre priamku, ktorá prechádza stredom hyperboly \(\frac{(x-2)^{2}} {4} -\frac{(y+3)^{2}} {9} = 1\) a má s ňou spoločný práve jeden bod?
Taká priamka neexistuje.
Smernica priamky je \(\frac{3} {2}\).
Smernica priamky je \(-\frac{3} {2}\).
Smernica priamky je \(\frac{2} {3}\).
Smernica priamky je \(1\).
Smernice priamky je \(0\).