B

Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza priamkou \( p \) danou parametrickými rovnicami \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovine \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viď obrázok).

Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá je kolmá na priamku \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prechádza bodom \( A=[1;0;4] \). Ďalej vypočítajte súradnice bodu \( B \), v ktorom priamka \( p \) pretína rovinu \( \alpha \) (viď obrázok).

Určte diferenciu aritmetickej postupnosti \( \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} \), viete-li, že súčet prvých siedmich členov je $42$ a platí $a_{10}=-4a_5$: \[ \begin{aligned} s_7&=42 \\ a_{10}&=-4a_5 \end{aligned} \]

Určte druhú mocninu prvého člena aritmetickej postupnosti \( \left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} \), ak platí: \[ \begin{aligned} a_2^2+a_3^2&=100 \\ a_5+a_7&=0 \end{aligned} \]