C

9000034308

Część: 
C
Równanie \[ x^{3} + 1 + \mathrm{i} = 0 \] ma dwa rozwiązania \[ \begin{aligned}x_{1}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{5} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{5} {12}\pi \right ),& \\x_{2}& = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{13} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{13} {12}\pi \right ). \\ \end{aligned} \] Wskaż trzecie.
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{21} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{21} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{9} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{9} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{17} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{17} {12}\pi \right )\)
\(x_{3} = \root{6}\of{2}\left (\cos \frac{19} {12}\pi + \mathrm{i}\sin \frac{19} {12}\pi \right )\)

9000034309

Część: 
C
Wskaż kąt \(\varphi \) tak, aby kąty w postaci biegunowej jakichkolwiek dwóch rozwiązań równania \[ x^{5} - 1 + \mathrm{i}\sqrt{3} = 0 \] różniły się liczbą całkowitą wielokrotności \(\varphi \).
\(\varphi = \frac{2} {5}\pi \)
\(\varphi = \frac{3} {5}\pi \)
\(\varphi = \frac{4} {5}\pi \)
\(\varphi =\pi \)

9000034303

Część: 
C
Wyznacz zbiór rozwiązań równania w zbiorze liczb zespolonych. \[ x^{3} + \mathrm{i} = 0 \]
\(\{\mathrm{i};\ \frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{ - 1;\ -\frac{\sqrt{3}} {2} + \frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{ - 1;\ \frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)
\(\{\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} + \frac{1} {2}\mathrm{i};\ -\frac{\sqrt{3}} {2} -\frac{1} {2}\mathrm{i}\}\)

9000033705

Część: 
C
Wyznacz dziedzinę następującej funkcji. \[ f\colon y = \sqrt{\log (x^{2 } + 2x + 1)} \]
\(\left (-\infty ;-2] \cup [ 0;\infty \right )\)
\(\mathbb{R}\setminus \left \{-1\right \}\)
\(\left (-1;\infty \right )\)
\(\left (-\infty ;-1\right )\cup \left (1;\infty \right )\)
\(\left (-\infty ;0\right )\cup \left (2;\infty \right )\)

9000033708

Część: 
C
Kamień został rzucony pionowo w górę z prędkością \(15\, \mathrm{m}\, \mathrm{s}^{-1}\) od początkowej wysokości \(10\, \mathrm{m}\). Jak długo (w sekundach) wysokość kamienia miała przynajmniej \(20\, \mathrm{m}\)? Wskazówka: Wysokość \(h\) jest równa wyrażeniu \(h = s_{0} + v_{0}t -\frac{1} {2}gt^{2}\), standardowe przyspieszenie wynosi \(g\mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 10\, \mathrm{m}\, \mathrm{s}^{-2}\).
dokładnie \(1\, \mathrm{s}\)
mniej niż \(1\, \mathrm{s}\)
więcej niż \(1\, \mathrm{s}\)
Informacje nie są wystarczające, by udzielić jednoznacznej odpowiedzi.

9000033709

Część: 
C
Ogród w kształcie kwadratu o boku \(a\) powinien zostać zmniejszony o długość \(x\) tak, by powstał inny kwadratowy ogród. Różnica pomiędzy powierzchniami ogrodów nie powinna być większa niż \(25\%\) początkowej powierzchni. Znajdź możliwe wartości \(x\).
\(x\leq a -\frac{\sqrt{3}} {2} a\)
\(x\leq \sqrt{3}a\)
\(x\leq \frac{3} {4}a\)
\(x\leq a + \frac{\sqrt{3}} {2} a\)

9000028408

Część: 
C
Find the condition which is equivalent to the fact that the equation \(ax^{2} + bx + c = 0\) with \(x\in \mathbb{R}\) and real coefficients \(a\), \(b\), \(c\) has two real solutions and one of the solutions is bigger than the other one.
\(b^{2} - 4ac > 0\text{ and }a\not = 0\)
\(b^{2} - 4ac\not = 0\text{ and }a\not = 0\)
\(- \frac{b} {2a} > \frac{\sqrt{b^{2 } -4ac}} {2a} \)
\(- \frac{b} {2a} < \frac{\sqrt{b^{2 } -4ac}} {2a} \)