Geometria analityczna w przestrzeni

9000106605

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. \[ \begin{aligned}[t] p\colon x& = 5 - 3t, & \\y & = t, \\z & = 5 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = -4 + 3s,& \\y & = 3 - s, \\z & = 2 + s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
proste pokrywające się
proste równoległe, nie pokrywające się
proste przecinające się
proste skośne

9000106606

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. \[ \begin{aligned}[t] p\colon x& = 2t, & \\y & = 3 - t, \\z & = 4 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 2 - 2s, & \\y & = -1 + s, \\z & = 6 + 3s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
proste skośne
proste równoległe, nie pokrywające się
proste przecinające się
proste pokrywające się

9000106607

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. \[\begin{aligned} p\colon &x = 2, &q\colon &x =\phantom{ -}1 -\phantom{ 3}s, & & & & \\ &y = 3 -\phantom{ 2}t, & &y =\phantom{ -}2 + 3s, & & & & \\ &z = 3 + 2t;\ t\in \mathbb{R}, & &z = -1 - 2s;\ s\in \mathbb{R} & & & & \end{aligned}\]
proste skośne
proste równoległe, nie pokrywające się
proste przecinające się
proste pokrywające się

9000106608

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. \[\begin{aligned} p\colon\, &x = 2, &q\colon\, &x =\phantom{ 1} - s, & & & & \\ &y = 2 + t, & &y = 4, & & & & \\ &z = 3;\ t\in \mathbb{R}, & &z = 1 - s;\ s\in \mathbb{R} & & & & \end{aligned}\]
proste przecinające się
proste równoległe, nie pokrywające się
proste skośne
proste pokrywające się

9000106609

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. Pierwsza prosta przechodzi przez punkty \(A = [3;-2;1]\) i \(B = [0;7;7]\) druga prosta przechodzi przez punkty \(C = [5;-8;-3]\) i \(D = [6;-11;-5]\).
proste pokrywające się
proste równoległe, nie pokrywające się
proste przecinające się
proste skośne

9000106301

Część: 
B
Wyznacz prostą $k$ prostopadłą do płaszczyzny \(\alpha \) \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0 \] i przechodzącą przez punkt \(A = [0;0;1]\).
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ 1 -} 2t, & \\y& =\phantom{ 1 -}\ t, \\z& = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2 + 2m, & \\y& =\phantom{ -}1 +\phantom{ 2}m, \\z& = -1 -\phantom{ 2}m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2k, & \\y& =\phantom{ -2}k, \\z& = -\phantom{2}k;\ k\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2, & \\y& =\phantom{ -}1, \\z& = -1 + u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000106610

Część: 
A
Określ wzajemne położenie prostych w przestrzeni. Pierwsza prosta przechodzi przez punkty \(A = [1;-4;2]\) i \(B = [3;0;0]\), druga prosta przechodzi przez punkty \(C = [3;-5;5]\) i \(D = [-1;-3;-1]\).
proste przecinające się
proste równoległe, nie pokrywające się
proste pokrywające się
proste skośne

9000106302

Część: 
B
Dana jest płaszczyzna \(\alpha \) przedstawiona za pomocą równania \[ \alpha : 2x + y - z - 5 = 0. \] Prosta \(k\) przechodząca przez punkt \(A = [0;0;1]\) prostopadła do \(\alpha \). Wyznacz punkt przecięcia \(S\) prostej \(k\) i płaszczyzny \(\alpha \).
\(S = [2;1;0]\)
\(S = [2;0;1]\)
\(S = [-2;1;0]\)
\(S = [-2;0;1]\)

9000106305

Część: 
B
Oblicz pole trójkąta \(ABS\). Podano dwie pierwsze współrzędne punktu \(B = [2;0;?]\) Punkt B leży na płaszczyźnie \(\alpha \) określonej równaniem \[ \alpha \colon 2x + y - z - 5 = 0. \] Punkt \(S\) jest punktem przecięcia płaszczyzny \(\alpha \) i prostej \(k\), która jest prostopadła do \(\alpha \) i przechodzi przez punkt \(A = [0;0;1]\).
\(\sqrt{3}\)
\(2\)
\(4\)
\(\sqrt{6}\)