Puntos y Vectores

1103024309

Parte: 
A
Dados los vectores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) mostrados en la imagen, expresa el vector \( \vec{b} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{c} \).
\( \vec{b} = 2\vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = 2\vec{a} - \vec{c} \)
\( \vec{b} = -2\vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = -2\vec{a} - \vec{c} \)

1103024308

Parte: 
A
Dados los vectores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) mostrados en la imagen, expressa el vector \( \vec{c} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \).
\( \vec{c} = -2\vec{a} + \vec{b} \)
\( \vec{c} = -\vec{a} + \frac12\vec{b} \)
\( \vec{c} = -\frac32\vec{a} + \vec{b} \)
\( \vec{c} = -2\vec{a} + \frac32\vec{b} \)

1003024307

Parte: 
A
Sean \( \vec{a} = (-1;2) \), \( \vec{b} = (2;1) \), \( \vec{c} = (-4;3) \). Expresa el vector \( \vec{c} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \).
\( \vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b} \)
\( \vec{c} = 4\vec{a} - 8\vec{b} \)
\( \vec{c} = 4\vec{a} - \vec{b} \)
\( \vec{c} = -2\vec{a} + \vec{b} \)

1003024306

Parte: 
A
Dados los puntos A = [-4;2;3], B = [-5;6;3], D = [1;1;4]. Determina las coordenadas del punto \( C \), si: \[ \vec{u} = \overrightarrow{AB}\text{, }\ \overrightarrow{CD} = -\frac12\vec{u}\]
\( C = \left[\frac12; 3; 4\right] \)
\( C = \left[-\frac12;-3;-4\right] \)
\( C = \left[\frac32;3;4\right] \)
\( C = \left[\frac32;-3;-4\right] \)

1103024305

Parte: 
A
En un tetraedro \( ABCD \), sean \( \vec{b} = \overrightarrow{AB} \), \( \vec{c} = \overrightarrow{AC} \), \( \vec{d} = \overrightarrow{AD} \), \( \vec{e} = \overrightarrow{AE} \) y \( \vec{f} = \overrightarrow{DE} \). Además, sea \( E \) el punto medio de \( BC \). Expresa vectores \( \vec{e} \) y \( \vec{f} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{d} \).
\( \vec{e} = \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c};\ \vec{f} = \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} - \vec{d} \)
\( \vec{e} = \frac12\vec{b} + \frac12\vec{d};\ \vec{f} = \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} \)
\( \vec{e} = \vec{b} + \vec{c};\ \vec{f} =\frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} - \vec{d} \)
\( \vec{e} = \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c};\ \vec{f} = \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} + \vec{d} \)

1103024304

Parte: 
A
La imagen muestra un ortoedro \( ABCDEFGH \). En el ortoedro, determina el vector que es la suma de \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{HG} \).
\( \overrightarrow{BF} \)
\( \overrightarrow{BE} \)
\( \overrightarrow{BG} \)
\( \overrightarrow{BH} \)

1103024303

Parte: 
A
La imagen muestra un ortoedro \( ABCDEFGH \) con \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{AD} \), \( \vec{c} = \overrightarrow{AE} \), \( \vec{x} = \overrightarrow{AK} \) y \( \vec{y} = \overrightarrow{AL} \). \( K \) es el punto medio de \( FG \) y el punto \( L \) es el centro de la cara \( BCGF \). Expresa los vectores \( \vec{x} \) y \( \vec{y} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \).
\( \vec{x} = \vec{a} + \frac12\vec{b} + \vec{c};\ \vec{y} = \vec{a} + \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{x} = \frac12\vec{a} + \vec{b} + \frac12\vec{c};\ \vec{y} = \vec{a} - \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{x} = \vec{a} + \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c};\ \vec{y} = \vec{a} - \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{x} = \vec{a} + \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c};\ \vec{y} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{b} + \frac12\vec{c} \)

1103024302

Parte: 
A
En el hexágono regular \( ABCDEF \) mostrado en la imagen, sean \( \vec{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \vec{b} = \overrightarrow{BC} \), \( \vec{c} = \overrightarrow{FD} \) y \( \vec{d} = \overrightarrow{CD} \). Expresa los vectores \( \vec{c} \) y \( \vec{d} \) como combinación lineal de los vectores\( \vec{a} \) y \( \vec{b} \).
\( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b};\ \vec{d} = \vec{b} - \vec{a} \)
\( \vec{c} = 2\vec{a} + 2\vec{b};\ \vec{d} = 2\vec{b} - 0.5\vec{a} \)
\( \vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b};\ \vec{d} = \vec{b} - \vec{a} \)
\( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b};\ \vec{d} = \vec{a} - \vec{b} \)

1103024301

Parte: 
A
En el triángulo \( ABC \), sean \( K \), \( L \) y \( M \) los puntos medios de \( AB \), \( BC \) y \( AC \) respectivamente y \( T \) el bicentro del triángulo \( ABC \). Determina los valores de los coeficientes \( k \), \( l \) y \(m \) si: \[ \overrightarrow{TM} = k\cdot\overrightarrow{BT};\ \overrightarrow{ML} = l\cdot\overrightarrow{BA};\ \overrightarrow{CK} = m\cdot\overrightarrow{TC} \]
\( k=\frac12;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12;\ l=\frac12;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12 ;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac23 \)
\( k=\frac12;\ l=-\frac12;\ m=\frac32 \)

1103021001

Parte: 
B
Sea \( ABCDEF \) un hexágono regular con centro \( S \) y longitud del lado \( 3\,\mathrm{cm}\). El punto \( G \) es el centro del segmento \( AB \). Los vectores \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \), \( \vec{z} \) están representados en el hexágono de la imagen. Calcula el producto escalar: \( \vec{v}\cdot\vec{w} \), \( \vec{v}\cdot\vec{z} \) and \( \vec{v}\cdot\vec{u} \).
\( \vec{v}\cdot\vec{w}=9 \), \( \vec{v}\cdot\vec{z} = 0 \), \( \vec{v}\cdot\vec{u}=27 \)
\( \vec{v}\cdot\vec{w}=9 \), \( \vec{v}\cdot\vec{z} = 0 \), \( \vec{v}\cdot\vec{u}=9\sqrt6 \)
\( \vec{v}\cdot\vec{w}=\frac92 \), \( \vec{v}\cdot\vec{z} = 0 \), \( \vec{v}\cdot\vec{u}=9\sqrt6 \)
\( \vec{v}\cdot\vec{w}=\frac92 \), \( \vec{v}\cdot\vec{z} = 1 \), \( \vec{v}\cdot\vec{u}=27 \)