Puntos y Vectores

1103020801

Parte: 
A
Determina las coordenadas de los puntos medios de los segmentos \( AB \), \( BC \), \( AC \). Para encontrar las coordenadas de los puntos \( A \), \( B \) y \( C \), mira la imagen.
\( S_{AB}=\left[-\frac12,1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4,2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac12, 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[-\frac32,2 \right]\text{, }\ S_{BC}=[1,3 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac52, 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[\frac12,1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4,2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[-\frac12, 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[1,-\frac12 \right]\text{, }\ S_{BC}=[2,4 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[4,\frac12\right] \)

1103020808

Parte: 
A
Sea \( ABC \) un triángulo. En la imagen se puede ver el centro del lado \( BC \) y el bicentro de este triángulo. De las siguientes relaciones vectoriales, selecciona la que no sea verdadera.
\( \overrightarrow{ST}= \frac12 \overrightarrow{AT} \)
\( \overrightarrow{AT}= \frac23\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{ST} = -\frac13\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{SA}= -3\overrightarrow{TS} \)

1003030605

Parte: 
B
Sean \( \vec{a}=(3,-5) \) y \( \vec{b}=(6,-10) \). Determina todos los vectores \( \vec{c} \) par los que se cumple que : \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=11\ \text{ y }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=22\text{ .} \]
\( \vec{c}=(2+5k,-1+3k),\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(7,2),\ \vec{c}_2=(-7,-2) \)
\( \vec{c}=(2k,-k),\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(2,-1),\ \vec{c}_2=(-2,1) \)

1003030604

Parte: 
B
Sean \( \vec{a}=(2,- 3) \) y \( \vec{b}=(3,-2) \). Determina todos los vectores \( \vec{c} \) para los que se cumple : \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=8\ \text{ y }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=27. \]
\( \vec{c}=(13,6) \)
\( \vec{c_1}=(13,6),\ \vec{c_2}=(-13,-6) \)
\( \vec{c}=(13k,6k),\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}=(-13,-6) \)

1003030603

Parte: 
B
Sea\( \vec{v}=(12,5) \). Determina todos los vectores \( \vec{u} \) que son perpendiculares al vector \( \vec{v} \) y cuya longitud es \( 26 \).
\( \vec{u_1} =(10,-24),\ \vec{u_2}=(-10, 24) \)
\( \vec{u}=(10,-24) \)
\( \vec{u_1}=\frac12 (5,-12),\ \vec{u_2}=\frac12 (-5, 12) \)
\( \vec{u_1}=26\cdot(5,-12),\ \vec{u_2}=26\cdot(-5, 12) \)

1103030601

Parte: 
B
En el cubo \( ABCDEFGH \) determina el ángulo \( \varphi \) entre los vectores \( \vec{b}=\overrightarrow{EB} \) y \( \vec{a}=\overrightarrow{AK} \), donde \( K \) es el centro de \( HG \). Redondea \( \varphi \) al grado más cercano. Pista: Elige un sistema de coordenadas apropiado.
\( \varphi\doteq 104^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 76^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 100^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 80^{\circ} \)

1103024310

Parte: 
A
La imagen muestra el triángulo \( KLM \) con los vectores indicados \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) en un sistema de coordenadas. ¿Cuáles son las coordenadas del vector\( \vec{b} \)? Expresa \( \vec{b} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{c} \).
\( \vec{b} = \left(1,3,4.5\right),\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3,1,4.5\right),\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(1,3,4.5\right),\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3,1,4.5\right),\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)

1103024309

Parte: 
A
Dados los vectores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) mostrados en la imagen, expresa el vector \( \vec{b} \) como combinación lineal de los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{c} \).
\( \vec{b} = 2\vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = 2\vec{a} - \vec{c} \)
\( \vec{b} = -2\vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = -2\vec{a} - \vec{c} \)