Geometría en el espacio

1003124004

Parte: 
A
Halla el valor del parámetro \( a\in\mathbb{R} \) de modo que el punto \( B=[1;4;5] \) pertenezca a la recta \( p \), la cual tiene las siguientes ecuaciones paramétricas: \[\begin{aligned}p\colon x&=-1+m,\\ y&=2+am,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}. \end{aligned}\]
\( a=1 \)
\( a=-1 \)
\( a=2 \)
este valor \( a \) no existe

1003124003

Parte: 
A
Halla las coordenadas del punto \( B=[x_B; y_B;-3] \) que pertenece a la recta \( p \) definida por las siguientes ecuaciones paramétricas: \[\begin{aligned} p\colon x&=-1+\frac14m,\\ y&=2+m,\\ z&=5-m;\ m\in\mathbb{R}.\end{aligned} \]
\( B=[1;10;-3] \)
\( B=[-3;-6;-3] \)
\( B=[1;3;-3] \)
\( B=[-3;6;-3] \)

1003124002

Parte: 
A
De las siguientes ecuaciones paramétricas que definen la recta \( p \), determina cuáles de ellas pasan por los puntos \( A=[-2;0;1] \) y \( B=[2;0;-3] \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=0, \\ z&=-3+4t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124001

Parte: 
A
Dada la recta \( q=\left\{[3t;2-2t;1+t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \) y los puntos \( A=[-6;6;-1] \), \( B=[-3;0;0] \), \( C=[0;2;1] \) y \( D=[3;0;2] \). Determina cuáles de estos cuatro puntos pertenecen a la recta q. Elige la opción correcta.
\( A \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \)
\( A \), \( B \), \( C \)

1103212905

Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la línea de intersección \( p \) y los planos \( \alpha \) y \( \beta \), donde \( \alpha \) es el plano que pasa por los puntos \( B \), \( C \) y \( V \), y \( \beta \) es el plano que pasa por los puntos \( A \), \( D \) y \( V \). Calcula también el ángulo \( \varphi \) formado entre los planos \( \alpha \) y \( \beta \). Aproxima el ángulo \( \varphi \) a minutos.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)

1103212904

Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el punto medio de la arista \( AD \). Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( B \), \( V \) y \( C \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de la arista es \( 2 \) (mira la imagen). Determina el ángulo \( \varphi \) formado entre la recta \( AF \) y el plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( E \), \( D \) y \( C \). Pista: El ángulo formado entre una recta y un plano es igual al ángulo formado entre la proyección perpendicular de la recta en el plano.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el centro de la cara \( ABFE \) y los puntos \( K \) y \( L \) son los puntos medios de aristas \( DH \) y \( CG \) consecutivamente. Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pase por los puntos \( A \), \( B \) y \( L \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). Determina la distancia de las rectas paralelas \( p=KL \) y \( q=MN \) en las cuales los puntos \( K \), \( L \), \( M \) y \( N \) son puntos medios de aristas \( CD \), \( BC \), \( EH \) y \( EF \) (siguiendo el orden).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)