Geometría en el espacio

2010008903

Parte: 
A
Dados los puntos \( P=[3;-4;1] \) y \( Q=[-1;3;6] \). Determina cuál de las siguientes ecuaciones paramétricas define la semirecta \( QP\).
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1-4t, \\ y&=3+7t, \\ z&=6+5t;\ t\in (-\infty;0] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3-4t, \\ y&=-4+7t, \\ z&=1+5t;\ t\in[ -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=3+4t, \\ y&=-4-7t, \\ z&=1-5t;\ t\in[ 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto QP\colon x&=-1+4t, \\ y&=3-7t, \\ z&=6-5t;\ t\in (-\infty;1] \end{aligned}$

2010008902

Parte: 
A
Dados los puntos \( A=[-2;5;1] \) y \( B=[3;-1;2] \). Determina cuál de las siguientes ecuaciones paramétricas define la semirecta \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3+5t, \\ y&=-1-6t, \\ z&=2+t;\ t\in [ -1;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2+5t, \\ y&=5-6t, \\ z&=1+t;\ t\in(-\infty;1] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=3-5t, \\ y&=-1+6t, \\ z&=2-t;\ t\in(-\infty;0] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-2-5t, \\ y&=5+6t, \\ z&=1-t;\ t\in [ 0;\infty) \end{aligned}$

2010008901

Parte: 
A
Dados los puntos \( K=[-3;1;5] \) y \( L=[1;-5;4] \). Determina cuáles de las siguientes ecuaciones paramétricas no son ecuaciones de la semirecta \( KL \).
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in(-\infty;0] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+4t, \\ y&=1-6t, \\ z&=5-t;\ t\in [ 0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3-8t, \\ y&=1+12t, \\ z&=5+2t;\ t\in(-\infty;0] \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto KL\colon x&=-3+8t, \\ y&=1-12t, \\ z&=5-2t;\ t\in [ 0;\infty) \end{aligned}$

2010005008

Parte: 
A
Determina la posición relativa entre los planos \(\alpha \) y \(\beta\). \[ \begin{aligned}[t] \alpha \colon &x = 1-m+2n, & \\&y =2m-n, \\&z = 2-m+n;\ m,n\in \mathbb{R}, \\ \end{aligned}\qquad \beta \colon x-y-3z+5 = 0 \]
Los planos son idénticos.
Los planos se intersectan.
Los planos son paralelos, no idénticos.

2010005006

Parte: 
B
Encuentra el ángulo entre la recta \(q\) y el plano \(\sigma \). \[ \sigma \colon 2x-z+4 = 0;\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 5r, & \\y & = -3+2r, \\z & = -2;\ r\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Redondea tu respuesta al minuto más cercano.
\(56^{\circ }09'\)
\(56^{\circ }08'\)
\(33^{\circ }51'\)
\(33^{\circ }52'\)

2010005005

Parte: 
B
Dados los puntos \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\), encuentra el ángulo entre la recta \(CD\) y la recta \(p\). \[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, & \\y & = 3, \\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \] Aproxima el resultado a los minutos.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010005003

Parte: 
A
Encuentra todos los valores del parámetro real \(p\) para el que las rectas \(a\) y \(b\) se crucen. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
No hay solución.
Las rectas se cruzan para cada \(p\) real.

2010005002

Parte: 
A
Determina la intersección de la recta \(KL\) y la recta \(q\), donde \(K = [1;3;5]\), \(L = [3;-2;4]\) y \[ \begin{aligned}q\colon x& = 1 + r, & \\y & = 5 - 2r, \\z & = 3 - r;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\([-3;13;7]\)
\([5;-7;3]\)
\([5;-3;-1]\)
No hay intersección.

2010005001

Parte: 
A
Determina la posición de dos rectas a y b. \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Las rectas dadas son oblicuas.
Las rectas dadas son idénticas.
Las rectas intersectan.
Las rectas dadas son paralelas (no coincidentes).