Body a vektory

1103024303

Časť: 
A
V kvádri \( ABCDEFGH \) na obrázku sú vyznačené vektory \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE} \), \( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{AK} \) a \( \overrightarrow{y} = \overrightarrow{AL} \). Bod \( K \) je stredom hrany \( FG \) a bod \( L \) je stredom steny \( BCGF \). Vyjadrite vektory \( \overrightarrow{x} \) a \( \overrightarrow{y} \) ako lineárnu kombináciu vektorov \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{c} \).
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \frac12\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \frac12\overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)

1103024302

Časť: 
A
V pravidelnom šesťuholníku \( ABCDEF \) na obrázku sú vyznačené vektory \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{FD} \) a \( \overrightarrow{d} = \overrightarrow{CD} \). Vyjadrite vektory \( \overrightarrow{c} \) a \( \overrightarrow{d} \) ako lineárnu kombináciu vektorov \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{b} \).
\( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{b} - 0{,}5\overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \)

1103024301

Časť: 
A
V trojuholníku \( ABC \) sú body \( K \), \( L \), \( M \) postupne stredy strán \( AB \), \( BC \) a \( AC \). Označme \( T \) ťažisko trojuholníka \( ABC \). Určte v následujúcich prípadoch hodnoty koeficientov \( k \), \( l \), \(m \) tak, aby platilo: \[ \overrightarrow{TM} = k\cdot\overrightarrow{BT};\ \overrightarrow{ML} = l\cdot\overrightarrow{BA};\ \overrightarrow{CK} = m\cdot\overrightarrow{TC} \]
\( k=\frac12;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12;\ l=\frac12;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12 ;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac23 \)
\( k=\frac12;\ l=-\frac12;\ m=\frac32 \)

1103021001

Časť: 
B
Je daný pravidelný šesťuholník \( ABCDEF \) so stredom \( S \) a dĺžkou strany \( 3\,\mathrm{cm}\). Bod \( G \) je stredom strany \( AB \). V šesťuholníku sú vyznačené vektory \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \), \( \overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{z} \). Vypočítajte skalárne súčiny: \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} \) a \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u} \).
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 1 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)

1103030705

Časť: 
A
V súradnicovom systéme je daný trojuholník KLM a vektory \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{c} \). Vektor \( \overrightarrow{x}=\overrightarrow{KT} \), kde T je ťažisko trojuholníka KLM, vyjadrite ako lineárnu kombináciu daných vektorov \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{c} \) a vypočítajte \( \left|\overrightarrow{x}\right| \).
\( \overrightarrow{x}=\frac13 \overrightarrow{a}+\frac13 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=5 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac23 \overrightarrow{a}+\frac23 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=10 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac12 \overrightarrow{a}+\frac12 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=\frac{15}2 \)
\( \overrightarrow{x}=\frac14 \overrightarrow{a}+\frac14 \overrightarrow{c} \), \( \left|\overrightarrow{x}\right|=\frac{225}{12} \)

1103030704

Časť: 
A
Sú dané body \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \) a \( T = [6;2] \). Bod \( T \) je ťažiskom trojuholníka \( ABC \). Určte dĺžku ťažnice na stranu \( AC \) v tomto trojuholníku.
\( |t_b|=\frac{\sqrt{117}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{45}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{153}}2 \)
\( |t_b|=\sqrt{117} \)

1103030701

Časť: 
A
Sú dané body \( A = [1;-1;2] \), \( B = [0;5;-3] \), \( S = [2;0;5] \). Bod \( S \) je stredom rovnobežníka \( ABCD \). Určte súradnice vrcholov \( C \) a \( D \).
\( C = [3;1;8]; D = [4;-5;13] \)
\( C = [4;-5;13]; D = [3;1;8] \)
\( C = [1;1;3]; D = [2;-5;8] \)
\( C = [-3;-1;-8]; D = [-4;5;-13] \)

1003020901

Časť: 
C
Sú dané vektory: \(\overrightarrow{a}=(1;3;-1)\), \(\overrightarrow{b}=(0;3;1)\), \(\overrightarrow{c}=(-1;2;2)\). Nájdite \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) and \(\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\).
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(6;-1;3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=-2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=8; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=(-8,16,16)\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(-6;1;-3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\sqrt{46}; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)