Body a vektory

1103020801

Časť: 
A
Určte súradnice stredu úsečiek \( AB \), \( BC \), \( AC \). Súradnice bodov \( A \), \( B \), \( C \) nájdete v obrázku.
\( S_{AB}=\left[-\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[-\frac32;2 \right]\text{, }\ S_{BC}=[1;3 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac52; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[-\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[1;-\frac12 \right]\text{, }\ S_{BC}=[2;4 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[4;\frac12\right] \)

1103020808

Časť: 
A
V trojuholníku \( ABC \) na obrázku je vyznačený stred strany \( BC \) a ťažisko trojuholníka. Z nasledujúcich vzťahov vyberte ten, ktorý neplatí.
\( \overrightarrow{ST}= \frac12 \overrightarrow{AT} \)
\( \overrightarrow{AT}= \frac23\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{ST} = -\frac13\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{SA}= -3\overrightarrow{TS} \)

1003030605

Časť: 
B
Sú dané vektory \( \vec{a}=(3;-5) \) a \( \vec{b}=(6;-10) \). Nájdite všetky vektory \( \vec{c} \), pre ktoré platí \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=11\ \text{ a }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=22\text{ .} \]
\( \vec{c}=(2+5k;-1+3k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(7;2);\ \vec{c}_2=(-7;-2) \)
\( \vec{c}=(2k;-k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(2;-1);\ \vec{c}_2=(-2;1) \)

1003030604

Časť: 
B
Sú dané vektory \( \vec{a}=(2;- 3) \) a \( \vec{b}=(3;-2) \). Nájdite všetky také vektory \( \vec{c} \), pre ktoré platí \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=8\ \text{ a }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=27. \]
\( \vec{c}=(13;6) \)
\( \vec{c_1}=(13;6);\ \vec{c_2}=(-13;-6) \)
\( \vec{c}=(13k;6k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}=(-13;-6) \)

1003030603

Časť: 
B
Je daný vektor \( \vec{v}=(12;5) \). Nájdite všetky také vektory \( \vec{u} \), ktoré sú kolmé k vektoru \( \vec{v} \) a majú veľkosť \( 26 \).
\( \vec{u_1} =(10;-24);\ \vec{u_2}=(-10; 24) \)
\( \vec{u}=(10;-24) \)
\( \vec{u_1}=\frac12 (5;-12);\ \vec{u_2}=\frac12 (-5; 12) \)
\( \vec{u_1}=26\cdot(5;-12);\ \vec{u_2}=26\cdot(-5; 12) \)

1103030601

Časť: 
B
V kocke \( ABCDEFGH \) určte odchýlku \( \varphi \) vektorov \( \vec{b}=\overrightarrow{EB} \) a \( \vec{a}=\overrightarrow{AK} \), kde \( K \) je stred \( HG \). Zaokrúhlite hodnotu \( \varphi \) na celé stupne. Nápoveda: Riešte vo vhodne zvolenom súradnicovom systéme.
\( \varphi\doteq 104^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 76^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 100^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 80^{\circ} \)

1103024310

Časť: 
A
V súradnicovom systéme je daný trojuholník \( KLM \) s vyznačenými vektormi \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \). Určte súradnice vektora \( \vec{b} \) a vyjadrite ich ako lineárnu kombináciu vektorov \( \vec{a} \) a \( \vec{c} \).
\( \vec{b} = \left(1;3;4{,}5\right);\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3;1;4{,}5\right);\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(1;3;4{,}5\right);\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3;1;4{,}5\right);\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)