Zastosowanie całki oznaczonej

9000100007

Część: 
B
Wykres przedstawia funkcję \(f\colon y = \sqrt{x}\) Wskaż objętość bryły obrotowej, która powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez wykres funkcji \(f\)na przedziale \([ 1;\, 4] \), prostymi \(x = 1\), \(x = 4\), a osią \(x\) wokół osi \(x\)
\(\frac{15} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi \)
\(\frac{17} {2} \pi ^{2}\)
\(\frac{15} {2} \pi ^{2}\)

9000100006

Część: 
B
Wykres przedstawia funkcję \(f\colon y = \sqrt{x}\). Wskaż wzór na objętość bryły obrotowej, która powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez wykres funkcji \(f\) na przedziale \([ 1;\, 4] \), prostymi \(x = 1\), \(x = 4\), a osią \(x\) wokół osi \(x\).
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}x\, \mathrm{d}x\)
\(V =\pi \int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)
\(V =\int _{ 1}^{4}\sqrt{x}\, \mathrm{d}x\)

9000100004

Część: 
B
Wykres przedstawia funkcję \(f\colon y = x^{2} + 2\). Jaka bryła obrotowa powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez wykres danej funkcji, obiema osiami oraz prostą \(x = -1\) wokół osi \(x\).
Bryła jednorodna nie będąca, ani stożkiem, ani walcem.
Stożek o promieniu podstawy \(1\).
Walec o promieniu podstawy \(2\).
Stożek o promieniu podstawy \(2\).

9000100005

Część: 
B
Wykres przedstawia funkcję \(f\colon y = 1\). Wskaż bryłę obrotową o objętości wyrażonej wzorem. \[ \pi \int _{-1}^{1}f^{2}(x)\, \mathrm{d}x \]
Walec o promieniu podstawy \(1\) i wysokości \(2\).
Stożek o promieniu podstawy \(1\) i wysokości \(2\).
Stożek o promieniu podstawy \(2\) i wysokości \(1\).
Walec o promieniu podstawy \(2\) i wysokości \(1\).

9000100008

Część: 
B
Wykres przedstawia część wykresu funkcji \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Dokończ zdanie: „Wzór określa \[ V =\pi \int _{ 1}^{2}x^{-2}\, \mathrm{d}x \] objętość bryły obrotowej, która powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez
oś \(x\), wykres funkcji \(f\) na przedziale \([ 1;\, 2] \) oraz prostymi \(x = 1\), \(x = 2\) wokół osi \(x\).
oś \(y\), wykres funkcji \(f\) na przedziale \([ 1;\, 2] \) oraz prostymi \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) wokół osi \(x\).
oś \(x\), wykres funkcji\(f^{2}\) na przedziale \([ 1;\, 2] \) oraz prostymi \(x = 1\), \(x = 2\) wokół osi \(x\).
oś \(y\), wykres funkcji \(f^{2}\) na przedziale \([ 1;\, 2] \) oraz prostymi \(y = 1\), \(y = \frac{1} {2}\) wokół osi \(x\).

9000100002

Część: 
B
Wykres przedstawia funkcję \(f\colon y = 3 - 2x\) Jaka jest objętość bryły obrotowej, która powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez wykres danej funkcji na przedziale \([ 0;\, 1.5] \), osią \(x\) oraz prostymi \(x = 1\) i \(x = -1\) wokół osi \(x\).
\(\frac{62} {3} \pi \)
\(6\pi \)
\(12\pi \)
\(\frac{8} {3}\pi \)

9000100009

Część: 
B
Wykres przedstawia część wykresu funkcji \(f\colon y = \frac{1} {x}\). Wskaż objętość bryły obrotowej, która powstanie z obrotu obszaru ograniczonego przez oś \(x\), wykres funkcji \(f\) oraz prostymi \(x = 1\), \(x = 4\) wokół osi \(x\).
\(\frac{3} {4}\pi \)
\(\frac{5} {4}\pi \)
\(\frac{5} {3}\pi \)
\(\frac{4} {3}\pi \)

9000072906

Część: 
C
Zbiornik w kształcie pudełka jest wypełniony wodą. Pionowa strona zbiornika ma \(50\, \mathrm{cm}\) wysokości i \(40\, \mathrm{cm}\) szerokości. Oblicz całkowitą siłę działającą na ten bok. Gęstość wody wynosi \(1\: 000\, \mathrm{kg\, m}^{-3}\), standardowe przyspieszenie grawitacyjne to \(g = 9.81\, \mathrm{m\, s}^{-2}\).
\(490.5\, \mathrm{N}\)
\(981\, \mathrm{N}\)
\(245.25\, \mathrm{N}\)

9000072907

Część: 
C
Sześcian jednorodny o boku \(10\, \mathrm{cm}\) jest znużony w wodzie. Jego dolny bok jest równoległy do powierzchni wody i znajduje się \(10\, \mathrm{cm}\) poniżej powierzchni wody. Oblicz jaką pracę należy wykonać, aby przesunąć sześcian tak, aby jego dolny bok stykał się z powierzchnią wody. Gęstość sześcianu wynosi \(2\: 000\, \mathrm{kg\, m}^{-3}\), gęstość wody jest równa \(1\: 000\, \mathrm{kg\, m}^{-3}\), a standardowe przyspieszenie grawitacyjne to \(g = 10\, \mathrm{m\, s}^{-2}\).
\(1.5\, \mathrm{J}\)
\(2\, \mathrm{J}\)
\(1\, \mathrm{J}\)

9000072908

Część: 
C
\(100\, \mathrm{kg}\) kotwica jest doczepiona do \(20\, \mathrm{m}\) liny. Metr liny waży \(1\, \mathrm{kg}\). Oblicz jaką pracę należy wykonać, aby podnieść kotwicę \(20\, \mathrm{m}\) do góry. Standardowe przyspieszenie grawitacyjne wynosi \(9.81\, \mathrm{m\, s}^{-2}\). Nie uwzględniamy siły wyporu.
\(21\: 582\, \mathrm{J}\)
\(23\: 544\, \mathrm{J}\)
\(19\: 620\, \mathrm{J}\)