Linie i płaszczyzny: długości i kąty

2010015810

Część: 
B
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy \(a = 10\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \) między krawędzią boczną ostrosłupa a jego krawędzią podstawy.
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \sqrt5 \mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 65^{\circ }54^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 24^{\circ }6^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 48^{\circ }11^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \frac{\sqrt{10}} {2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 57^{\circ }41^{\prime}\)

2010015809

Część: 
B
Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDV\). Krawędź podstawy jest równa \(a = 6\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa jest równa \(v = 8\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \) między przeciwległymi krawędziami bocznymi (kąt \(AVC\)).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 55^{\circ }53'\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 27^{\circ }56^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 41^{\circ }7^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{8} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 124^{\circ }7^{\prime}\)

2010015808

Część: 
B
Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ma długość \(a = 6\; \mathrm{cm}\), wysokość ostrosłupa wynosi \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Wyznacz kąt \(\varphi \).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 67^{\circ }\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 73^{\circ }18^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3\sqrt2} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 45^{\circ }59^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 33^{\circ }24^{\prime}\)

2010015807

Część: 
A
Boki prostopadłościannego pudełka przedstawionego na rysunku mają długości: \(a = 3\, \mathrm{cm}\), \(b = 4\, \mathrm{cm}\) i \(c = 12\, \mathrm{cm}\). Przekątna bryły jest równa \(u_{t}\) i najkrótsza przekątna ściany to \(u_{s}\). Wyznacz stosunek \(u_{s} : u_{t}\).
\(5 : 13\)
\(13 : 5\)
\(13\sqrt{10}:40\)
\(4\sqrt{10}:13\)

2010015806

Część: 
C
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\) przedstawionego na rysunku ma długość \(a = 3\, \mathrm{cm}\), wysokość bryły wynosi \(v = 8\, \mathrm{cm}\). Znajdź kąt między przekątną \(AC'\) i płaszczyzną podstawy\(ABC\) (zaokrąglij wynik do całości).
\(57^{\circ }\)
\(53^{\circ }\)
\(33^{\circ }\)
\(38^{\circ }\)

2010015804

Część: 
B
Krawędź podstawy \( ABCD \) ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \( ABCDV \) ma długość \( 6\,\mathrm{cm} \). Wysokość ostrosłupa wynosi \( 3\sqrt2\,\mathrm{cm} \). Znajdź odległość między punktem \( A \) a prostą \( CV \) (patrz rysunek).
\( 6\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)
\( 9\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \)

2010015802

Część: 
C
Niech \( ABCDEFV \) będzie prawidłowym ostrosłupem sześciokątnym o długości krawędzi podstawy \( 4\,\mathrm{cm} \) i wysokości \( 8\,\mathrm{cm} \). Znajdź odległość między punktem \( V \) a prostą \( BD \) (patrz rysunek).
\( 2\sqrt{17}\,\mathrm{cm} \)
\( 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)
\( 2\sqrt{19}\,\mathrm{cm} \)
\( 2\sqrt{20}\,\mathrm{cm} \)