Metrické vlastnosti

2010015810

Část: 
B
Mějme pravidelný čtyřboký jehlan s dékou hrany při základně \(a = 10\; \mathrm{cm}\). Výška jehlanu je \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Určete velikost úhlu \(\varphi \), jehož ramena tvoří boční hrana a hrana podstavy jehlanu.
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \sqrt5 \mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 65^{\circ }54^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 24^{\circ }6^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{\sqrt5} {5}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 48^{\circ }11^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits {\varphi} = \frac{\sqrt{10}} {2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 57^{\circ }41^{\prime}\)

2010015809

Část: 
B
Obrázek znázorňuje pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\). Strana jeho podstavy \(a = 6\; \mathrm{cm}\) a výška jehlanu \(v = 8\; \mathrm{cm}\). Určete velikost úhlu \(\varphi \), jehož ramena tvoří protější boční hrany (úhel \(AVC\)).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 55^{\circ }53'\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{3\sqrt2} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 27^{\circ }56^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3} {8}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 41^{\circ }7^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{8} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 124^{\circ }7^{\prime}\)

2010015808

Část: 
B
Ná obrázku je pravidelný čtyřboký jehlan, jeho podstava má stranu délky \(a = 6\; \mathrm{cm}\) a výška jehlanu \(v = 10\; \mathrm{cm}\). Určete velikost úhlu \(\varphi \).
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3\sqrt2}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 67^{\circ }\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi = \frac{10} {3}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 73^{\circ }18^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}{2} = \frac{3\sqrt2} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 45^{\circ }59^{\prime}\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \frac{\varphi}2 = \frac{3} {10}\mathrel{\implies }\varphi \mathop{\mathop{\doteq }}\nolimits 33^{\circ }24^{\prime}\)

2010015807

Část: 
A
Kvádr na obrázku má hrany \(a = 3\, \mathrm{cm}\), \(b = 4\, \mathrm{cm}\), a \(c = 12\, \mathrm{cm}\). Jeho tělesovou uhlopříčku označme \(u_{t}\) a nejkratší stěnovou uhlopříčku \(u_{s}\). Určete poměr \(u_{s} : u_{t}\).
\(5 : 13\)
\(13 : 5\)
\(13\sqrt{10}:40\)
\(4\sqrt{10}:13\)

2010015806

Část: 
C
Pravidelný šestiboký hranol \(ABCDEFA'B'C'D'E'F'\) na obrázku má hranu \(a = 3\, \mathrm{cm}\) a jeho výška \(v = 8\, \mathrm{cm}\). Určete odchylku uhlopříčky \(AC'\) a roviny podstavy \(ABC\) (zakrouhlete výsledek na celé stupně).
\(57^{\circ }\)
\(53^{\circ }\)
\(33^{\circ }\)
\(38^{\circ }\)

2010015805

Část: 
A
Kvádr má hrany \(a = 6\, \mathrm{cm}\) a \(b = 8\, \mathrm{cm}\) a tělesová uhlopříčka \(u = 11\, \mathrm{cm}\). Určete délku hrany \(c\) (viz obrázek).
\( \sqrt{21}\,\mathrm{cm} \)
\( \sqrt{221}\,\mathrm{cm} \)
\( 21\,\mathrm{cm} \)
\( 10\,\mathrm{cm} \)

2010015804

Část: 
B
Čtvercová podstava \( ABCD \) jehlanu \( ABCDV \) má stranu délky \( 6\,\mathrm{cm} \). Výška jehlanu je \( 3\sqrt2\,\mathrm{cm} \). Určete vzdálenost bodu \( A \) od přímky \( CV \) (viz obrázek).
\( 6\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)
\( 9\,\mathrm{cm} \)
\( 3\sqrt{2}\,\mathrm{cm} \)

2010015802

Část: 
C
Je dán pravidelný šestiboký jehlan \( ABCDEFV \) s délkou hrany při základně \( 4\,\mathrm{cm} \) a výškou \( 8\,\mathrm{cm} \). Určete vzdálenost vrcholu jehlanu \( V \) od přímky \( BD \) (viz obrázek).
\( 2\sqrt{17}\,\mathrm{cm} \)
\( 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \)
\( 2\sqrt{19}\,\mathrm{cm} \)
\( 2\sqrt{20}\,\mathrm{cm} \)