Funkcja pierwotna

1003107807

Część: 
A
Wskaż funkcję $F(x)$, która jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)=2^x\cdot\ln⁡2+4^x\cdot2\ln⁡2+8^x\cdot3\ln⁡2$ dla $\mathbb{R}$ oraz spełnia warunek $F(0)=5$.
$F(x)=2^x+4^x+8^x+2$
$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{8^x}{\ln 8}+2x$
$F(x)=2^x+4^x+8^x+5$
$F(x)=2^x\cdot\ln2+2^{x+1}\cdot\ln2+2^{x+3}\cdot\ln2+5$

1003107806

Część: 
A
Określ funkcję $f(x)$ tak, aby: $f''(x)=\mathrm{e}^x+x^5$ w $\mathbb{R}$, $f(0)=1$, i $f(1)=\frac{43}{42}$.
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(1-\mathrm{e})x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(-\mathrm{e}-1)x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{7}{6}x^7+x-\mathrm{e}x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+\frac{43}{42}$

1003107805

Część: 
A
Określ funkcję $f(x)$ tak, aby: $f'(x)=x^5-\sqrt[4]x$ w $(0;\infty)$, $f(1)=-1$.
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45\sqrt[4]{x^5}+\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x+\frac{11}{30}$

1003107804

Część: 
B
Cztery dziewczyny obliczyły całkę $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$ w $\mathbb{R}$. Ania rozpoczęła całkowanie przez części w następujący sposób: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\sin^2⁡x-\int\cos x\cdot\sin x\,\mathrm{d}x$. Beata rozpoczęła całkowanie przez części w następujący sposób: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos^2 x-\int\sin x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$. Kasia użyła podstawienia $a=\sin ⁡x$ w następujący sposób: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\int a\,\mathrm{d}a$. Natomiast Daria wykonała $\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos x\cdot\sin⁡ x+c$, $c\in\mathbb{R}$. Która z dziewczyn popełniła błąd?
Diana
Ann
Beth
Claire

1003107913

Część: 
C
Która z podanych metod jest najbardziej efektywna w obliczaniu całki nieoznaczonej \[ \int\sin(\ln x)\mathrm{d}x \] w przedziale \( (0;\infty) \)?
Przez całki częściowe, \( u(x)=\sin⁡(\ln ⁡x) \), gdzie \( u(x) \) jest funkcją układu scalonego, a \( v'(x)=1 \), gdzie \( v'(x) \) jest funkcją różniczkowalną.
Przez podstawienie, \( a=\sin ⁡x \).
Przez całki częściowe, \( u(x)=\ln x \), gdzie \( u(x) \) jest funkcją układu scalonego, a \( v'(x)=\sin x \), gdzie \( v'(x) \) jest funkcją różniczkowalną.
Przez podstawienie, \( t=\sin⁡(\ln⁡ x) \).

1003107912

Część: 
C
Która z podanych metod jest najbardziej efektywna w obliczaniu całki nieoznaczonej \[ \int\frac{\mathrm{d}x}{x\ln ⁡x} \] w przedziale \( (1;\infty) \)?
Przez podstawienie, \( a=\ln ⁡x \).
Przez całki częściowe, \( u(x)=\frac1x \), gdzie \( u(x) \) jest funkcją układu scalonego, a \( v'(x)=\ln ⁡x \), gdzie \( v'(x) \) jest funkcją różniczkowalną.
Przez podstawienie, \( a=\frac1x \).
Rozkład na czynniki \( \int\frac1x\mathrm{d}x\cdot\int\frac1{\ln ⁡x}\mathrm{d}x \).