Funkcja pierwotna

Cztery dziewczyny obliczyły całkę $I=\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x$ w $\mathbb{R}$. Ania rozpoczęła całkowanie przez części w następujący sposób: $I=\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x={\sin }^{2}x-\int \cos x\cdot \sin x\mathrm{d}x$. Beata rozpoczęła całkowanie przez części w następujący sposób: $I=\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x=-{\cos }^{2}x-\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x$. Kasia użyła podstawienia $a=\sin x$ w następujący sposób: $I=\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x=\int a\mathrm{d}a$. Natomiast Daria wykonała $\int \sin x\cdot \cos x\mathrm{d}x=-\cos x\cdot \sin x+c$, $c\in \mathbb{R}$. Która z dziewczyn popełniła błąd?

Który kolor wykresu funkcji $F(x)$, jest funkcją pierwotną funkcji $f(x)=\frac{2}{x+1}$ w $(-1;\mathrm{\infty })$? (Spójrz na rysunek.)

Która z podanych metod jest najbardziej efektywna w obliczaniu całki nieoznaczonej $$\int \sin (\ln x)\mathrm{d}x$$ w przedziale $(0;\mathrm{\infty })$?

Oblicz całkę nieznaczoną $$\int \sin \sqrt{x}\mathrm{d}x$$ w przedziale $(0;\mathrm{\infty })$.