Geometría analítica en el espacio

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Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). Determina las ecuaciones paramétricas de la línea de intersección \( p \) y los planos \( \alpha \) y \( \beta \), donde \( \alpha \) es el plano que pasa por los puntos \( B \), \( C \) y \( V \), y \( \beta \) es el plano que pasa por los puntos \( A \), \( D \) y \( V \). Calcula también el ángulo \( \varphi \) formado entre los planos \( \alpha \) y \( \beta \). Aproxima el ángulo \( \varphi \) a minutos.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} & \end{aligned}\)

1103212904

Parte: 
C
Sea \( ABCDV \) una pirámide cuadrangular regular cuya arista de base es \( 6 \) y la altura es \( 6 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el punto medio de la arista \( AD \). Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( B \), \( V \) y \( C \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de la arista es \( 2 \) (mira la imagen). Determina el ángulo \( \varphi \) formado entre la recta \( AF \) y el plano \( \alpha \) que pasa por los puntos \( E \), \( D \) y \( C \). Pista: El ángulo formado entre una recta y un plano es igual al ángulo formado entre la proyección perpendicular de la recta en el plano.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). El punto \( S \) es el centro de la cara \( ABFE \) y los puntos \( K \) y \( L \) son los puntos medios de aristas \( DH \) y \( CG \) consecutivamente. Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pase por los puntos \( A \), \( B \) y \( L \), y calcula la distancia del punto \( S \) al plano \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). Determina la distancia de las rectas paralelas \( p=KL \) y \( q=MN \) en las cuales los puntos \( K \), \( L \), \( M \) y \( N \) son puntos medios de aristas \( CD \), \( BC \), \( EH \) y \( EF \) (siguiendo el orden).
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1003188803

Parte: 
A
Dado el plano \( \rho \) que pasa por por el punto \( A=[3;1;1] \) y contiene a la recta \( p \) cuyas ecuaciones paramétricas son: \begin{align*} p\colon x&=4+4t, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} Determina las ecuaciones paramétricas del plano \( \rho \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+s, \\ y&=-1-2t-2s, \\ z&=1+t;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+3s, \\ y&=-1-2t+s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t+4s, \\ y&=1-2t-s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t-4s, \\ y&=1-2t+2s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188802

Parte: 
A
Determina las coordenadas que les faltan a los puntos \( M=[2;m;0] \) y \( N=[0;3;n] \) para que éstos pertenezcan al plano \( \rho \) dado por la ecuación: \begin{align*} \rho\colon x&=4+2s, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{align*} Elige cuáles de los valores \( m \) y \( n \) son correctos.
\( m=-1 \), \( n=-3 \)
\( m=-1 \), \( n=3 \)
\( m=1 \), \( n=-3 \)
\( m=1 \), \( n=3 \)