Geometría analítica en el espacio

1103233604

Parte: 
C
Calcula el simétrico del punto $A=[1;10;-8]$ siendo el eje de simetría la recta la recta $p$: \begin{align*} p\colon x&= 1-2t, \\ y&= 3+t, \\ z&= -1+3t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Pista: mira la imagen.
$A'=[5;-6;0]$
$A'=[3;2;-4]$
$A'=[-1;11;-5]$
$A'=[-2;10;-24]$

1103233602

Parte: 
C
En el cubo $ABCDEFGH$ cuya arista mide $1$ está marcado un tetraedro regular $ACHF$ (mira la imagen). Determina la distancia entre aristas opuestas. \[ \] Pista: Las aristas opuestas de un tetraedro están en las rectas secantes. Su distancia es igual a la distancia de puntos medios de una arista y la arista opuesta a dicha arista.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

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Parte: 
C
En el cubo $ABCDEFGH$ cuya arista mide $1$ hay un tetraedro regular $ACHF$ (mira la imagen). Determina la altura del sólido. \[ \] Pista: Calcula por ejemplo la distancia entre el punto $F$ y el plano $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

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Parte: 
B
Dada la recta \( p \) cuyas ecuaciones paramétricas son: \begin{align*} x&=1+t, \\ y&= 1+2t, \\ z&= 4-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Determina las ecuaciones paramétricas de la recta \( p' \) que es proyección perpendicular de la recta \( p \) en el plano \(xy\).
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9+2s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9-2s, \\ z&=0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=1+s, \\ y&=1+2s, \\ z&= 4;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+2s, \\ y&=9+s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103189004

Parte: 
B
Dado el punto \( A=[2;-1;-4] \) y los planos \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) y \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que pasa por el punto \( A \) y es perpendicular a los dos planos dados (mira la imagen).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Parte: 
B
Determina la ecuación general del plano \( \beta \) que pasa por la recta \( p \) dada por las ecuaciones paramétricas: \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} y es perpendicular al plano \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (mira la imagen).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Parte: 
B
Determina la ecuación general del plano \( \beta \) que pasa por los puntos \( M=[-1;1;-3] \) y \( N=[0;2;-1] \) y es perpendicular al plano \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (mira la imagen).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Parte: 
B
Determina la ecuación general del plano \( \alpha \) que es perpendicular a la recta \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} y pasa por el punto \( A=[1;0;4] \). Luego calcula las coordenadas del punto \( B \) en el que la recta \( p \) corta el plano \( \alpha \) (mira la imagen).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)