Geometría analítica en el Espacio

1003188907

Parte: 
A
Dados los planos secantes \( x-6y+9z-4=0 \) y \( x-2y+3z-4=0 \). Determina las ecuaciones paramétricas de su recta intersección \( p \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t , \\ y&=\phantom{4+}\ 3t , \\ z&=\phantom{4+}\ 2t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\frac32+3t, \\ z&=1+2t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003188906

Parte: 
A
Dados los planos \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) y \( \delta \) cuyas ecuaciones generales son: \[ \begin{aligned} &\alpha\colon \frac23x-4y+6z-\frac83=0, \\ &\beta\colon x-2y+3z-4=0, \\ &\gamma\colon 2x-12y+18z-4 =0, \\ &\delta\colon x-6y+9z-4 =0. \end{aligned} \] Determina cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera:
\( \alpha \parallel\delta\text{, }\alpha\neq\delta \)
Los planos \( \beta \) y \( \delta \) no son paralelos.
\( \gamma\parallel\delta\text{, }\gamma\neq\delta \)
Los planos \( \alpha \) y \( \beta \) no son paralelos.
\( \alpha = \delta \)

1003188905

Parte: 
A
Determina la posición relativa del plano \( \rho \) con la ecuación general \( 5x-4y+z-4=0 \) y la recta \( p \) cuyas ecuaciones paraméticas son: \[ \begin{aligned} x&=-1+t,\\ y&=2-2t,\\ z&=3+t,\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \) corta \( \rho \)
\( p\parallel \rho\text{, } p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)

1003188904

Parte: 
A
Determina la posición relativa del plano \( \rho \) cuyas ecuaciones son \( 7x-2y+z-2=0 \) y la recta \( p \) cuyas ecuaciones paramétricas son: \[ \begin{aligned} x&=3+t, \\ y&=-5-2t, \\ z&=3-11t,\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel \rho\text{, }p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)
\( p \) corta el plano \( \rho \)

1003188903

Parte: 
A
Determina la posición relativa del plano \( \rho \) y la recta \( p \) cuyas ecuaciones paramétricas son: \( 2x-y+z-2=0 \) \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3,\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) corta el plano \( \rho \)

1103188902

Parte: 
A
Relaciones las ecuaciones generales con sus planos representados en las imágenes.
\( \alpha\colon y-2=0,\ \beta\colon z-2=0,\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0,\ \beta\colon z+2=0,\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0,\ \beta\colon x+y-2=0,\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0,\ \beta\colon x+y-z-2=0,\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

1103212206

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya longitud de arista es \( 2 \) (mira la imagen). La línea \( p \) es línea de intersección de los planos \( \alpha \) y \( \beta \), donde el plano \( \alpha \) está determinado por los puntos \( C \), \( F \) y \( H \) y el plano \( \beta \) está determinado por los puntos \( A \), \( F \) y \( H \). Halla las ecuaciones paramétricas para la recta \( p \) y calcula el ángulo \( \varphi \) de los planos \( \alpha \) y \( \beta \) . Aproxima el ángulo \( \varphi \) a minutos.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & &\\ z&=2,\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t,\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2,\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t,\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212205

Parte: 
C
Sea \( ABCDEFGH \) un cubo cuya arista mide \( 2 \) (mira la imagen). Calcula la distancia de los planos paralelos \( \alpha \) y \( \beta \), en los cuales \( \alpha \) está determinado por los puntos \( B \), \( D \) y \( G \) y el plano \( \beta \) está determinado por los puntos \( A \), \( F \) y \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)