Derivace funkce

2000010805

Část: 
C
Daný setrvačník se roztáčí tak, že úhel jeho otočení závisí na čase podle rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde úhel otočení \(\varphi\) udáváme v radiánech a čas \(t\) v sekundách. Za jak dlouho se bude pohybovat úhlovou rychlostí \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Nápověda: Úhlovou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4{,}5 \,\mathrm{s}\)
\( 3\,\mathrm{s}\)
\( 288 \,\mathrm{s}\)
\( 9 \,\mathrm{s}\)

2000010806

Část: 
C
Cívkou, jejíž indukčnost je \(0{,}06\,\mathrm{H}\) protéká střídavý proud \[ i=0{,}2\sin(100\pi t),\] kde čas \(t\) je v sekundách a proud \(i\) je měřen v ampérech. Určete velikost indukovaného napětí v čase \(t=2\) s. (Nápověda: Okamžité napětí \(u\), které se indukuje v cívce o indukčnosti \(L\) průchodem střídavého proudu \(i\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(i(t)\), tj. \(u(t)=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\). Pro velikost napětí není záporné znaménko podstatné.)
\( 1{,}2\pi \,\mathrm{V}\)
\( 20\pi \,\mathrm{V}\)
\( 0 \,\mathrm{V}\)
\( 12 \,\mathrm{V}\)

2010013701

Část: 
C
Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Rychlosti těchto těles budou vždy rozdílné.

2010013702

Část: 
C
Pohyb dvou těles je popsán rovnicemi \[s_1=\frac32t^2+3t+2\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+1,\] kde dráha \(s\) je uváděna v metrech a čas \(t\) v sekundách. Určete, v jakém čase se obě tělesa budou pohybovat stejnou rychlostí.\[\] Nápověda: Okamžitou rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=3\,\mathrm{s}\)
\(t=1\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt7\,\mathrm{s}\)
Rychlosti těchto těles budou vždy rozdílné.

2010013703

Část: 
C
Máme tělesa \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), která se dají současně do pohybu. Víme, jak se mění dráha, či rychlost těchto těles v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je měřena v metrech, čas \(t\) v sekundách a rychlost \(v\) v metrech za sekundu. Určete, které těleso se v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s největším zrychlením. \[\] Nápověda: Rychlost \(v(t)\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrychlení \(a(t)\) lze určit jako derivaci funkce \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí druhé derivace \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013704

Část: 
C
Máme tělesa \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), která se dají současně do pohybu. Víme, jak se mění dráha, či rychlost těchto těles v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=\frac12t^2+10t+1,\qquad&C:\, v=9t+15,\\ B:\, s=\frac13t^3+t^2+4,\qquad\ \ &D:\, v=\frac52t^2+3.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je měřena v metrech, čas \(t\) v sekundách a rychlost \(v\) v metrech za sekundu. Určete, které těleso se v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s největším zrychlením. \[\] Nápověda: Rychlost \(v(t)\) můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrychlení \(a(t)\) lze určit jako derivaci funkce \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rychlost můžeme určit pomocí derivace funkce \(s(t)\), můžeme zrychlení určit pomocí druhé derivace \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

9000063303

Část: 
C
Derivace funkce \(f\colon y = \sqrt{\sin x}\) je rovna:
\(f'(x) = \frac{\cos x} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ;\pi + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{\sin x} {2\sqrt{\cos x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ; \frac{\pi } {2} + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{1} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ;\pi + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{\cos x} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left \langle 2k\pi ; \frac{\pi } {2} + 2k\pi \right \rangle \)

9000063305

Část: 
C
Derivace funkce \(f\colon y = \sqrt{\frac{x-1} {x+1}}\) je rovna:
\(f'(x) = \frac{1} {(x+1)^{2}} \sqrt{\frac{x+1} {x-1}},\ x\in (-\infty ;-1)\cup (1;\infty )\)
\(f'(x) = \frac{\sqrt{x-1}} {(x-1)^{2}\sqrt{x+1}},\ x\in (-\infty ;-1)\cup \langle 1;\infty )\)
\(f'(x) = \frac{x-1} {2\sqrt{(x+1)^{3}}} ,\ x\neq - 1\)
\(f'(x) = \frac{x-1} {\sqrt{(x+1)^{3}}} ,\ x\in (-\infty ;-1)\cup \langle 1;\infty )\)

9000063306

Část: 
C
Derivace funkce \(f\colon y =\mathrm{e} ^{\sin 2x}\) je rovna:
\(f'(x) = 2\mathrm{e}^{\sin 2x}\cos 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = x\mathrm{e}^{\sin 2x}\cos 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) =\mathrm{e} ^{\sin 2x}\sin 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) =\mathrm{e} ^{\cos 2x},\ x\in \mathbb{R}\)