Geometría analítica en el Espacio

2010008707

Parte: 
C
Sea \(ABCDEFGH\) un cubo con una longitud de arista de \(2\) unidades situado en el sistema cartesiano. En el cubo está coloreado un tetraedro regular \(BDEG\) (ver la imagen). Halla el ángulo entre sus caras redondeando el número de los minutos al más cercano.
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008706

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 4 \) unidades está situado en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla el ángulo \( \psi \) entre el plano \( \rho \) que pasa por los puntos \( B \), \( D \) y \( H \) y la recta \( CF \). Pista: Un ángulo entre una recta y un plano es el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal en dicho plano.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008705

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 4 \) unidades está situado en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla la distancia entre las rectas paralelas \( p=PQ\) y \( r=RS \), donde los puntos \( P \), \( Q \), \( R\) y \( S \) son los puntos medios de las aristas \(BF\), \(BC\), \(EH\) y \(DH\) respectivamente.
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008704

Parte: 
C
Un cubo \( ABCDEFGH \) cuya arista mide \( 3 \) unidades se encuentra en un sistema de coordenadas (ver la imagen). Halla la distancia entre los planos paralelos \( \rho \) y \( \sigma \), donde \( \rho \) pasa por los puntos \( D \), \( E \) y \( G \) y \( \sigma \) pasa por \( A \), \( C \) y \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008703

Parte: 
C
La recta \( q \) viene dada por los puntos \( K=[6,6,7] \) y \( L=[4,0,2] \) (ver la imagen). Halla las ecuaciones paramétricas de la recta \( q' \) simétrica a la recta \( q \) respecto al plano coordenado \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t,\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008702

Parte: 
B
Nos dan el punto \( P=[3,-4,-5] \) y los planos \( \alpha \) dado por \( 2x-y-3z-5=0 \) y \( \beta \) dado por \( 3x-2y-4z+3=0 \). Halla la ecuación general del plano \( \sigma \) que pasa por el punto \( P \) y es perpendicular a ambos planos \(\alpha\) y \(\beta\) (ver la imagen).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)

2010008701

Parte: 
B
Nos dan los puntos \(K = [ 1, −2, 1]\), \(L = [2, 0, −3]\) y el plano \(\rho\) dado por \(x-2z+3=0\). Halla la ecuación general del plano \(\sigma\) en el que se encuentra la recta \(KL\) y es perpendicular al plano \(\rho\) (ver la imagen).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)