Matice a determinanty

2000019305

Část: 
A
Pan Moudrý jezdí pro palivo na tři různé čerpací stanice MOL, Shell a EuroOil. Pokaždé koupí \(25\) litrů nafty, cafe latte a \(2\) nugátové croissanty. \[~\] Ceny v CZK: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Nafta (}1~\text{litr)} &1~\text{Cafe Latte}&1~\text{Croissant}\\\hline \text{MOL}& 31{,}20& 57&16{,}90\\\hline \text{Shell}& 27{,}20 &52 &20 \\\hline \text{EuroOil}& 29{,}60 &49 &18{,}20 \\\hline \end{array}\] Uvažujme následující součin dvou matic: \[ \left (\array{ 31{,}20& 57 & 16{,}90 \cr 27{,}20& 52 & 20 \cr 29{,}60& 49 & 18{,}20 \cr } \right ) \cdot \left (\array{ 25 \cr 1 \cr 2 \cr } \right ) \] Vyberte tvrzení, které NENÍ pravdivé.
Nejvýhodnější je nákup na čerpací stanici MOL.
Nejvýhodnější je nákup na čerpací stanici Shell.
Nejméně výhodný je nákup na čerpací stanici MOL.

2000019304

Část: 
A
Adamova maminka (AM) a Petrova maminka (PM) se předhánějí v tom, která umí nakupovat levněji. Na letní víkend chtějí obě nakoupit máslo, cukr, mouku a vanilkový cukr. K dispozici mají dva obchody Aha a Praha. \[~\] Následující tabulky vyjadřují, kolik kusů jednotlivých surovin mají maminky v plánu nakoupit a ceny v obchodech Aha a Praha. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\begin{gathered}\text{Máslo}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Cukr}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Mouka}\\\text{(kg)}\end{gathered} &\begin{gathered}\text{Vanilkový cukr}\\\text{(počet sáčků)}\end{gathered}\\\hline \text{AM}& 0{,}5& 2&1&8 \\\hline \text{PM}& 0{,}25 &2&2&5 \\\hline \end{array}\] \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline &\mathrm{Aha} & \mathrm{Praha}\\\hline \text{Máslo (za }1\,\mathrm{kg)}& 119{,}6\,\mathrm{CZK}& 159{,}6\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Cukr (za }1\,\mathrm{kg)} & 12{,}5\,\mathrm{CZK}& 9{,}9\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Mouka (za }1\,\mathrm{kg)} & 10{,}9\,\mathrm{CZK} & 9{,}5\,\mathrm{CZK} \\\hline \text{Vanilkový cukr (za }\mathrm{kus)} & 5{,}9\,\mathrm{CZK} & 5{,}1\,\mathrm{CZK} \\\hline \end{array}\] Co vyplývá z následujícího součinu matic? \[ \left (\array{ 0{,}5& 2 & 1 & 8\cr 0{,}25& 2 & 2 & 5\cr } \right ) \cdot \left (\array{ 119{,}6& 159{,}6 \cr 12{,}5& 9{,}9 \cr 10{,}9& 9{,}5 \cr 5{,}9& 5{,}1 \cr } \right ) = \left (\array{ 142{,}9& 149{,}9\cr 106{,}2& 104{,}2 \cr } \right ) \]
Pro Adamovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Aha, pro Petrovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Praha.
Pro Adamovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Praha, pro Petrovu maminku je výhodnější nákup v obchodě Aha.
Pro obě maminky je výhodnější nákup v obchodě Aha.
Pro obě maminky je výhodnější nákup v obchodě Praha.

2000019303

Část: 
A
Tři zmrzlinové stánky firmy ICE hlásily za červenec prodej porcí jednotlivých druhů zmrzliny. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{vanilka} & \text{čokoláda} & \text{oříšek} & \text{jahoda} \\\hline \text{Stánek 1}& 720 & 800 & 1\,200&360 \\\hline \text{Stánek 2} & 550 & 434 & 900 & 300 \\\hline \text{Stánek 3} &610 &300 & 200 & 750 \\\hline \end{array}\] Zisk z prodeje jednoho kopečku zmrzliny v závislosti na jejím druhu (v korunách) vyjadřuje matice \( P= \left (\array{ 1\cr 1\cr 3\cr 2\cr } \right ) \). Odhadněte, jaký zisk měla firma ICE za červenec ze všech tří stánků.
více než \(12\,000\,\mathrm{CZK}\)
mezi \(9\,000\,\mathrm{CZK}\) a \(12\,000\,\mathrm{CZK}\)
mezi \(6\,000\,\mathrm{CZK}\) a \(9\,000\,\mathrm{CZK}\)
méně než \(6\,000\,\mathrm{CZK}\)

2000019302

Část: 
A
Tři zmrzlinové stánky firmy ICE hlásily za červenec prodej porcí jednotlivých druhů zmrzliny. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{vanilka} & \text{čokoláda} & \text{oříšek} & \text{jahoda} \\\hline \text{Stánek 1}& 720 & 800 & 1\,200&360 \\\hline \text{Stánek 2} & 550 & 434 & 900 & 300 \\\hline \text{Stánek 3} &610 &300 & 200 & 750 \\\hline \end{array}\] Zisk z prodeje jednoho kopečku zmrzliny v závislosti na jejím druhu (v korunách) vyjadřuje matice \( P= \left (\array{ 1\cr 1\cr 3\cr 2\cr } \right ) \). Matici příslušnou prodeji za červenec označme písmenem \(J\). Která matice vyjadřuje celkový zisk jednotlivých stánků firmy ICE za červenec?
\(J\cdot P\)
\(P \cdot J\)
\(J +P\)
Zisk nelze určit žádnou operací s maticemi.

2000019301

Část: 
A
Tři zmrzlinové stánky firmy ICE hlásily za červenec prodej porcí jednotlivých druhů zmrzliny. Údaje jsou uvedeny v následující tabulce. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{vanilka} & \text{čokoláda} & \text{oříšek} & \text{jahoda} \\\hline \text{Stánek 1}& 720 & 800 & 1\,200&360 \\\hline \text{Stánek 2} & 550 & 434 & 900 & 300 \\\hline \text{Stánek 3} &610 &300 & 200 & 750 \\\hline \end{array}\] Údaje, které stánky hlásily za srpen, jsou již stručně uvedeny v odpovídající matici \(A\). \[ A= \left (\array{ 650& 470 & 890 & 410\cr 500& 505 & 890 & 300\cr 380& 520 & 350 & 800\cr } \right ) \] Pokud příslušnou matici prodeje za červenec označíme písmenem \(J\), jaká matice pak popisuje prodej jednotlivých druhů zmrzliny za oba letní měsíce?
matice \(J+A\)
matice \(J-A\)
matice \(J \cdot A\)
matice \(2J+2A\)

2000018906

Část: 
B
Popište, jak se bude měnit hodnost matice \(A\) v závislosti na \(t\), jestliže \[ A=\left (\array{ 3& -2& 1&-4\cr -6& 4& -2&8\cr 0& t& 0&t} \right ). \]
Pro \(t=0\) je hodnost \(1\), pro jiné hodnoty \(t\) je hodnost \(2\).
Pro \(t=0\) je hodnost \(1\), pro jiné hodnoty \(t\) je hodnost \(3\).
Pro \(t=0\) je hodnost \(2\), pro jiné hodnoty \(t\) je hodnost \(1\).
Pro \(t=2\) je hodnost \(3\), pro jiné hodnoty \(t\) je hodnost \(1\).

2000018904

Část: 
B
Najděte \(p\) tak, aby matice \(A\) měla hodnost \(2\). \[ A=\left(\array{ 1& p+1\cr 3 & 6+2p \cr -1 & -8} \right) \]
\(A\) má hodnost \(2\) pro každé \(p\in\mathbb{R}\).
\(p=7\)
\(p=9\)
\(A\) nemá hodnost \(2\) pro žádné \(p\in\mathbb{R}\).