Body a vektory

1103024309

Část: 
A
V obrázku jsou dány vektory \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{c} \). Vyjádřete vektor \( \overrightarrow{b} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{c} \).
\( \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} \)

1103024308

Část: 
A
V obrázku jsou dány vektory \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{c} \). Vyjádřete vektor \( \overrightarrow{c} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{b} \).
\( \overrightarrow{c} = -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = -\frac32\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = -2\overrightarrow{a} + \frac32\overrightarrow{b} \)

1003024307

Část: 
A
Jsou dány vektory \( \overrightarrow{a} = (-1;2) \), \( \overrightarrow{b} = (2;1) \), \( \overrightarrow{c} = (-4;3) \). Vyjádřete vektor \( \overrightarrow{c} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{b} \).
\( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{a} - 8\overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \)
\( \overrightarrow{c} = -2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \)

1003024306

Část: 
A
Jsou dány body A = [-4;2;3], B = [-5;6;3], D = [1;1;4]. Určete souřadnice bodu \( C \) tak, aby platilo: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\text{, }\ \overrightarrow{CD} = -\frac12\overrightarrow{u}\]
\( C = \left[\frac12; 3; 4\right] \)
\( C = \left[-\frac12;-3;-4\right] \)
\( C = \left[\frac32;3;4\right] \)
\( C = \left[\frac32;-3;-4\right] \)

1103024305

Část: 
A
Ve čtyřstěnu \( ABCD \) jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{AC} \), \( \overrightarrow{d} = \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{e} = \overrightarrow{AE} \) a \( \overrightarrow{f} = \overrightarrow{DE} \), kde \( E \) je střed hrany \( BC \). Vyjádřete vektory \( \overrightarrow{e} \) a \( \overrightarrow{f} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{c} \), \( \overrightarrow{d} \).
\( \overrightarrow{e} = \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{f} = \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d} \)
\( \overrightarrow{e} = \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{d};\ \overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} \)
\( \overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c};\ \overrightarrow{f} =\frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d} \)
\( \overrightarrow{e} = \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{f} = \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} \)

1103024304

Část: 
A
V kvádru \( ABCDEFGH \) s vyznačenými vektory určete součet \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{HG} \).
\( \overrightarrow{BF} \)
\( \overrightarrow{BE} \)
\( \overrightarrow{BG} \)
\( \overrightarrow{BH} \)

1103024303

Část: 
A
V kvádru \( ABCDEFGH \) na obrázku jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE} \), \( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{AK} \) a \( \overrightarrow{y} = \overrightarrow{AL} \). Bod \( K \) je středem hrany \( FG \) a bod \( L \) je středem stěny \( BCGF \). Vyjádřete vektory \( \overrightarrow{x} \) a \( \overrightarrow{y} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{c} \).
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \frac12\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)
\( \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c};\ \overrightarrow{y} = \frac12\overrightarrow{a} + \frac12\overrightarrow{b} + \frac12\overrightarrow{c} \)

1103024302

Část: 
A
V pravidelném šestiúhelníku \( ABCDEF \) na obrázku jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{FD} \) a \( \overrightarrow{d} = \overrightarrow{CD} \). Vyjádřete vektory \( \overrightarrow{c} \) a \( \overrightarrow{d} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{b} \).
\( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{b} - 0{,}5\overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \)

1103024301

Část: 
A
V trojúhelníku \( ABC \) jsou body \( K \), \( L \), \( M \) postupně středy stran \( AB \), \( BC \) a \( AC \). Označme \( T \) těžiště trojúhelníka \( ABC \). Určete v následujících případech hodnoty koeficientů \( k \), \( l \), \(m \) tak, aby platilo: \[ \overrightarrow{TM} = k\cdot\overrightarrow{BT};\ \overrightarrow{ML} = l\cdot\overrightarrow{BA};\ \overrightarrow{CK} = m\cdot\overrightarrow{TC} \]
\( k=\frac12;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12;\ l=\frac12;\ m=-\frac32 \)
\( k=\frac12 ;\ l=-\frac12 ;\ m=-\frac23 \)
\( k=\frac12;\ l=-\frac12;\ m=\frac32 \)

1103021001

Část: 
B
Je dán pravidelný šestiúhelník \( ABCDEF \) se středem \( S \) a délkou strany \( 3\,\mathrm{cm}\). Bod \( G \) je středem strany \( AB \). V šestiúhelníku jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v} \), \( \overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{z} \). Vypočtěte skalární součiny: \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} \) a \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u} \).
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=9 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 0 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=9\sqrt6 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}=\frac92 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z} = 1 \), \( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}=27 \)