Body a vektory

1103030704

Část: 
A
Jsou dány body \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \) a \( T = [6;2] \). Bod \( T \) je těžištěm trojúhelníku \( ABC \). Určete délku těžnice na stranu \( AC \) v tomto trojúhelníku.
\( |t_b|=\frac{\sqrt{117}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{45}}2 \)
\( |t_b|=\frac{\sqrt{153}}2 \)
\( |t_b|=\sqrt{117} \)

1103030703

Část: 
A
Jsou dány body \( A = [2;1] \), \( B = [4;-1] \) a \( T = [6;2] \). Bod \( T \) je těžištěm trojúhelníku \( ABC \). Určete souřadnice vrcholu \( C \) tohoto trojúhelníku.
\( C = [12;6] \)
\( C = [8;4] \)
\( C = [9;6] \)
\( C = [8;5] \)

1103030702

Část: 
A
Jsou dány body \( A = [1;-1;2] \), \( B = [0;5;-3] \), \( S = [2;0;5] \). Bod \( S \) je středem rovnoběžníku \( ABCD \). Určete délku jeho strany \( AD \).
\( |AD|=\sqrt{146} \)
\( |AD|=\sqrt{114} \)
\( |AD|=\sqrt{44} \)
\( |AD|=\sqrt{172} \)

1103030701

Část: 
A
Jsou dány body \( A = [1;-1;2] \), \( B = [0;5;-3] \), \( S = [2;0;5] \). Bod \( S \) je středem rovnoběžníku \( ABCD \). Určete souřadnice vrcholů \( C \) a \( D \).
\( C = [3;1;8]; D = [4;-5;13] \)
\( C = [4;-5;13]; D = [3;1;8] \)
\( C = [1;1;3]; D = [2;-5;8] \)
\( C = [-3;-1;-8]; D = [-4;5;-13] \)

1003020901

Část: 
C
Jsou dány vektory: \(\overrightarrow{a}=(1;3;-1)\), \(\overrightarrow{b}=(0;3;1)\), \(\overrightarrow{c}=(-1;2;2)\). Vypočtěte \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) a \(\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}\).
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(6;-1;3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=-2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=8; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=(-8,16,16)\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(-6;1;-3); \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)
\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\sqrt{46}; \left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right)\cdot\overrightarrow{c}=2\)

9000108706

Část: 
B
Najděte všechny vektory rovnoběžné s vektorem \(\vec{u} = (3;-1)\), které mají velikost \(1\).
\(\left (\frac{3\sqrt{10}} {10} ;-\frac{\sqrt{10}} {10} \right )\), \(\left (-\frac{3\sqrt{10}} {10} ; \frac{\sqrt{10}} {10} \right )\)
\((0;-1)\), \((0;1)\)
\((-3;1)\), \((3;-1)\)
\(\left (\frac{3} {4};-\frac{1} {4}\right )\), \(\left (-\frac{3} {4}; \frac{1} {4}\right )\)

9000108704

Část: 
B
Jsou dány vektory \(\vec{u} = (1;0;-1)\) a \(\vec{v} = (2;-1;1)\). Najděte všechny vektory \(\vec{w}\), pro které platí \(\vec{w} \perp \vec{ u}\), \(\vec{w} \perp \vec{ v}\) a \(\left |\vec{w}\right | = 2\).
\(\vec{w} = \left (\frac{2\sqrt{11}} {11} ; \frac{6\sqrt{11}} {11} ; \frac{2\sqrt{11}} {11} \right )\), \(\vec{w} = \left (-\frac{2\sqrt{11}} {11} ;-\frac{6\sqrt{11}} {11} ;-\frac{2\sqrt{11}} {11} \right )\)
\(\vec{w} = (-1;-3;-1)\), \(\vec{w} = (1;3;1)\)
\(\vec{w} = \left (-\frac{1} {2};-\frac{3} {2};-\frac{1} {2}\right )\), \(\vec{w} = \left (\frac{1} {2}; \frac{3} {2}; \frac{1} {2}\right )\)
\(\vec{w} = \left (\frac{2\sqrt{2}} {3} ; \frac{3\sqrt{2}} {2} ; \frac{2\sqrt{2}} {3} \right )\), \(\vec{w} = \left (-\frac{2\sqrt{2}} {3} ;-\frac{3\sqrt{2}} {2} ;-\frac{2\sqrt{2}} {3} \right )\)

9000108702

Část: 
B
Čtverec má jeden vrchol \([-1;2]\) a průsečík uhlopříček \([1;4]\). Určete souřadnice zbývajících vrcholů.
\([3;6]\), \([-1;6]\), \([3;2]\)
\([3;6]\), \([-1;5]\), \([3;1]\)
\([3;6]\), \([-2;6]\), \([4;2]\)
\([3;6]\), \([-1;5]\), \([3;2]\)

9000108701

Část: 
B
Najděte všechny vektory, které mají velikost \(1\) a jsou kolmé k vektoru \(\vec{u} = (3;4)\).
\(\left (\frac{4} {5};-\frac{3} {5}\right )\), \(\left (-\frac{4} {5}; \frac{3} {5}\right )\)
\(\left (\frac{4} {7};-\frac{3} {7}\right )\), \(\left (-\frac{4} {7}; \frac{3} {7}\right )\)
\(\left ( \frac{1} {\sqrt{10}};- \frac{3} {\sqrt{10}}\right )\), \(\left (- \frac{1} {\sqrt{10}}; \frac{3} {\sqrt{10}}\right )\)
\(\left (\frac{4} {5}; \frac{3} {5}\right )\), \(\left (-\frac{4} {5};-\frac{3} {5}\right )\)