Body a vektory

1103020801

Část: 
A
Určete souřadnice středů úseček \( AB \), \( BC \), \( AC \). Souřadnice bodů \( A \), \( B \), \( C \) naleznete v obrázku.
\( S_{AB}=\left[-\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[-\frac32;2 \right]\text{, }\ S_{BC}=[1;3 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac52; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[-\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[1;-\frac12 \right]\text{, }\ S_{BC}=[2;4 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[4;\frac12\right] \)

1103020808

Část: 
A
V trojúhelníku \( ABC \) na obrázku je vyznačen střed strany \( BC \) a těžiště trojúhelníka. Z následujících vztahů vyberte ten, který neplatí.
\( \overrightarrow{ST}= \frac12 \overrightarrow{AT} \)
\( \overrightarrow{AT}= \frac23\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{ST} = -\frac13\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{SA}= -3\overrightarrow{TS} \)

1003030605

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \vec{a}=(3;-5) \) a \( \vec{b}=(6;-10) \). Najděte všechny vektory \( \vec{c} \), pro které platí \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=11\ \text{ a }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=22\text{ .} \]
\( \vec{c}=(2+5k;-1+3k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(7;2);\ \vec{c}_2=(-7;-2) \)
\( \vec{c}=(2k;-k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}_1=(2;-1);\ \vec{c}_2=(-2;1) \)

1003030604

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \vec{a}=(2;- 3) \) a \( \vec{b}=(3;-2) \). Najděte všechny takové vektory \( \vec{c} \), pro které platí \[ \vec{a}\cdot\vec{c}=8\ \text{ a }\ \vec{b}\cdot\vec{c}=27. \]
\( \vec{c}=(13;6) \)
\( \vec{c_1}=(13;6);\ \vec{c_2}=(-13;-6) \)
\( \vec{c}=(13k;6k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \vec{c}=(-13;-6) \)

1003030603

Část: 
B
Je dán vektor \( \vec{v}=(12;5) \). Najděte všechny takové vektory \( \vec{u} \), které jsou kolmé k vektoru \( \vec{v} \) a mají velikost \( 26 \).
\( \vec{u_1} =(10;-24);\ \vec{u_2}=(-10; 24) \)
\( \vec{u}=(10;-24) \)
\( \vec{u_1}=\frac12 (5;-12);\ \vec{u_2}=\frac12 (-5; 12) \)
\( \vec{u_1}=26\cdot(5;-12);\ \vec{u_2}=26\cdot(-5; 12) \)

1103030601

Část: 
B
V krychli \( ABCDEFGH \) určete odchylku \( \varphi \) vektorů \( \vec{b}=\overrightarrow{EB} \) a \( \vec{a}=\overrightarrow{AK} \), kde \( K \) je střed \( HG \). Zaokrouhlete hodnotu \( \varphi \) na celé stupně. Nápověda: Řešte ve vhodně zvoleném souřadném systému.
\( \varphi\doteq 104^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 76^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 100^{\circ} \)
\( \varphi\doteq 80^{\circ} \)

1103024310

Část: 
A
V souřadném systému je dán trojúhelník \( KLM \) s vyznačenými vektory \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \). Určete souřadnice vektoru \( \vec{b} \) a vyjádřete jej jako lineární kombinaci vektorů \( \vec{a} \) a \( \vec{c} \).
\( \vec{b} = \left(1;3;4{,}5\right);\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3;1;4{,}5\right);\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(1;3;4{,}5\right);\ \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} \)
\( \vec{b} = \left(3;1;4{,}5\right);\ \vec{b} = \frac12\vec{a} + \frac12\vec{c} \)