Body a vektory

1103020804

Část: 
A
V rovnoběžníku \( ABCD \) jsou vyznačeny body \( G \) - střed \( CD \), \( F \) - střed \( BC \) a vektory \( \overrightarrow{u}=\overrightarrow{CG} \), \( \overrightarrow{v}=\overrightarrow{CF} \), \( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD} \) a \( \overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC} \). Vyjádřete vektory \( \overrightarrow{a} \) a \( \overrightarrow{b} \) jako lineární kombinaci vektorů \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \).
\( \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{v};\ \overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{u};\ \overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{u};\ \overrightarrow{b}=-\sqrt2\overrightarrow{u}-\sqrt2\overrightarrow{v} \)
\( \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{v};\ \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v} \)

1103020801

Část: 
A
Určete souřadnice středů úseček \( AB \), \( BC \), \( AC \). Souřadnice bodů \( A \), \( B \), \( C \) naleznete v obrázku.
\( S_{AB}=\left[-\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[-\frac32;2 \right]\text{, }\ S_{BC}=[1;3 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[\frac52; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[\frac12;1 \right]\text{, }\ S_{BC}=[4;2 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[-\frac12; 4\right] \)
\( S_{AB}=\left[1;-\frac12 \right]\text{, }\ S_{BC}=[2;4 ]\text{, }\ S_{AC}=\left[4;\frac12\right] \)

1103020808

Část: 
A
V trojúhelníku \( ABC \) na obrázku je vyznačen střed strany \( BC \) a těžiště trojúhelníka. Z následujících vztahů vyberte ten, který neplatí.
\( \overrightarrow{ST}= \frac12 \overrightarrow{AT} \)
\( \overrightarrow{AT}= \frac23\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{ST} = -\frac13\overrightarrow{AS} \)
\( \overrightarrow{SA}= -3\overrightarrow{TS} \)

1003030605

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \overrightarrow{a}=(3;-5) \) a \( \overrightarrow{b}=(6;-10) \). Najděte všechny vektory \( \overrightarrow{c} \), pro které platí \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=11\ \text{ a }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=22\text{ .} \]
\( \overrightarrow{c}=(2+5k;-1+3k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(7;2);\ \overrightarrow{c}_2=(-7;-2) \)
\( \overrightarrow{c}=(2k;-k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}_1=(2;-1);\ \overrightarrow{c}_2=(-2;1) \)

1003030604

Část: 
B
Jsou dány vektory \( \overrightarrow{a}=(2;- 3) \) a \( \overrightarrow{b}=(3;-2) \). Najděte všechny takové vektory \( \overrightarrow{c} \), pro které platí \[ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=8\ \text{ a }\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=27. \]
\( \overrightarrow{c}=(13;6) \)
\( \overrightarrow{c_1}=(13;6);\ \overrightarrow{c_2}=(-13;-6) \)
\( \overrightarrow{c}=(13k;6k);\ k\in\mathbb{R} \)
\( \overrightarrow{c}=(-13;-6) \)