Body a vektory

1103040202

Část: 
C
Jsou dány body $A = [1 ; -2 ; -3]$, $B = [4 ; 1 ; -1]$, $D = [-3 ; 3 ; 1]$ a $E = [2 ; 0 ; 5]$ (viz obrázek). Vypočtěte objem jehlanu $ABCDE$ s rovnoběžníkovou podstavou $ABCD$ a vrcholem $E$.
$V=\frac{178}3$
$V=\frac{89}3$
$V=178$
$V=89$

1003040201

Část: 
C
Jsou dány vektory $\vec{a}=(-1; 2;3)$, $\vec{b}=(3; 1; -2)$ a $\vec{c}=(1; 2;-1)$. Určete souřadnice vektoru $\vec{v}$, který je kolmý k oběma daným vektorům $\vec{a}$ a $\vec{b}$, přičemž platí $\vec{v}\cdot\vec{c}=12$.
$\vec{v}=(-6;6;-6)$
$\vec{v}=(6;-6;6)$
$\vec{v}=(-7;7;-7)$
$\vec{v}=(7;-7;7)$

1103030505

Část: 
B
Vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \) jsou zadány v souřadném systému. Určete kosinus jejich odchylky \( \varphi \). Nápověda: Užijte skalární součin daných vektorů.
\( \cos\varphi=-\frac9{17} \)
\( \cos\varphi=\frac9{17} \)
\( \cos\varphi=\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{13}} \)
\( \cos\varphi=-\frac{\sqrt{17}}{2\sqrt{13}} \)

1103030504

Část: 
B
V souřadném systému jsou znázorněny vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \). Určete kosinus jejich odchylky \(\varphi \). Nápověda: Užijte skalární součin vektorů.
\( \cos\varphi=\frac{13\sqrt{10}}{50} \)
\( \cos\varphi=\frac{970}{50} \)
\( \cos\varphi=\frac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \cos\varphi=\frac{\sqrt{10}}{5} \)

1103030503

Část: 
B
Vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \) jsou znázorněny v souřadném systému. Určete jejich souřadnice a vypočtěte jejich skalární součin.
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -32 \)
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0 \)
\( \overrightarrow{u}=(-8;-7;9);\ \ \overrightarrow{v} =(8;7;9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = (-64;-49;81) \)
\( \overrightarrow{u}=(8;7;-9);\ \ \overrightarrow{v} =(-8;-7;-9);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = (-64;-49;81) \)

1103030502

Část: 
B
V souřadném systému jsou dány vektory \( \overrightarrow{u} \) a \( \overrightarrow{v} \). Určete jejich souřadnice a vypočtěte jejich skalární součin.
\( \overrightarrow{u}=(-3;6);\ \ \overrightarrow{v} =(-9;-6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -9 \)
\( \overrightarrow{u}=(3;-6);\ \ \overrightarrow{v} =(9;6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -9 \)
\( \overrightarrow{u}=(-3;6);\ \ \overrightarrow{v} =(-9;-6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 9 \)
\( \overrightarrow{u}=(3;-6);\ \ \overrightarrow{v} =(9;6);\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 0 \)

1103030501

Část: 
B
V krychli o délce hrany \( 1 \) jsou vyznačeny vektory \( \overrightarrow{u} \), \( \overrightarrow{v}\), \( \overrightarrow{w} \), \( \overrightarrow{z} \). Vypočtěte skalární součiny: \[ \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}\text{ ,}\ \ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} \text{ ,}\ \ \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u} \]
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=1 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=1 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=\frac{\sqrt2}2 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=\sqrt3 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=\sqrt2 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=1 \)
\( \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{z}=1 \), \( \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=1 \), \( \overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=\sqrt3 \)