Primitívna funkcia

1003107808

Časť: 
B
Riešte použitím substitúcie $a=\ln⁡ x$ neurčitý integrál $\int\frac{\ln^5⁡x}x\,\mathrm{d}x$ na $(0;\infty)$.
$\frac{\ln^6x}6+c$, $c\in\mathbb{R}$
$5\ln^4x+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\frac{\ln^2x}2+c$, $c\in\mathbb{R}$
$\frac12\ln^5x+c$, $c\in\mathbb{R}$

1003107807

Časť: 
A
Určte takú funkciu $F(x)$, ktorá je primitívna k funkcii $f(x)=2^x\cdot\ln⁡2+4^x\cdot2\ln⁡2+8^x\cdot3\ln⁡2$ na $\mathbb{R}$ a splňuje podmienku $F(0)=5$.
$F(x)=2^x+4^x+8^x+2$
$F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{8^x}{\ln 8}+2x$
$F(x)=2^x+4^x+8^x+5$
$F(x)=2^x\cdot\ln2+2^{x+1}\cdot\ln2+2^{x+3}\cdot\ln2+5$

1003107806

Časť: 
A
Určte funkciu $f(x)$ tak, aby platilo: $f''(x)=\mathrm{e}^x+x^5$ na $\mathbb{R} $, $ f(0)=1$ a $f(1)=\frac{43}{42}$.
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(1-\mathrm{e})x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+(-\mathrm{e}-1)x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{7}{6}x^7+x-\mathrm{e}x$
$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{x^7}{42}+\frac{43}{42}$

1003107805

Časť: 
A
Určte funkciu $f(x)$ tak, aby platilo: $f'(x)=x^5-\sqrt[4]x$ na $(0;\infty)\wedge f(1)=-1$.
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac45\sqrt[4]{x^5}+\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x-\frac{11}{30}$
$f(x)=\frac{x^6}6-\frac54x\sqrt[4]x+\frac{11}{30}$

1003107804

Časť: 
B
Štyri dievčatá počítali neurčitý integrál $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$ na $\mathbb{R}$. Anička začala integrovať metódou per partes takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\sin^2⁡x-\int\cos x\cdot\sin x\,\mathrm{d}x$. Betka integrovala rovnako metódou per partes, ale takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos^2 x-\int\sin x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x$. Klára použila substitúciu $a=\sin ⁡x$ takto: $I=\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=\int a\,\mathrm{d}a$. Diana integrovala priamo $\int\sin ⁡x\cdot\cos x\,\mathrm{d}x=-\cos x\cdot\sin⁡ x+c$, $c\in\mathbb{R}$. Ktorá z dievčat urobila chybu?
Diana
Anička
Betka
Klára

1003107913

Časť: 
C
Ktorou metódou je najvýhodnejšie riešiť neurčitý integrál \[ \int\sin(\ln x)\mathrm{d}x \] na intervale \( (0;\infty) \)?
Per partes, ako nederivovanú funkciu volíme \( u(x)=\sin⁡(\ln ⁡x) \), ako derivovanú funkciu volíme \( v'(x)=1 \).
Substitúciou \( a=\sin ⁡x \).
Per partes, ako nederivovanú funkciu volíme \( u(x)=\ln x \), ako derivovanú funkciu volíme \( v'(x)=\sin x \).
Substitúciou \( t=\sin⁡(\ln⁡ x) \).

1003107912

Časť: 
C
Ktorou metódou je najvýhodnejšie riešiť neurčitý integrál \[ \int\frac{\mathrm{d}x}{x\ln ⁡x} \] na intervale \( (1;\infty) \)?
Substitúciou \( a=\ln ⁡x \).
Per partes, ako nederivovanú funkciu volíme \( u(x)=\frac1x \), ako derivovanú funkciu volíme \( v'(x)=\ln ⁡x \).
Substitúciou \( a=\frac1x \).
Rozložením na súčin \( \int\frac1x\mathrm{d}x\cdot\int\frac1{\ln ⁡x}\mathrm{d}x \).