Primitívna funkcia

1003107604

Časť: 
C
Vypočítajte na intervale \( (0;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\frac{-2x^2+3x+2}{x^3+x^2}\mathrm{d}x \]
\( \ln\frac x{x^3+3x^2+3x+1}-\frac2x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln x-\ln(x+1)^3+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{x\cdot x^2}{(x+1)^3}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\(\ln\frac{x^3}{x^3+3x^2+3x+1}-\frac2x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003107603

Časť: 
C
Vypočítajte na intervale \( (0;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\frac{3x^3+3x^2-x+1}{x^2+x}\mathrm{d}x \]
\( 1{,}5x^2+\ln\frac x{x^2+2x+1}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac x{(x+1)^2}+3x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\!⁡\left[x\cdot(x+1)^2\right]+3x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{(x+1)^2}x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003107602

Časť: 
C
Vypočítajte na intervale \( (3;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\frac7{x^2+x-12}\mathrm{d}x \]
\( \ln\frac{x-3}{x+4}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\!\left[(x-3)(x+4)\right]+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln⁡\frac{x+4}{x-3}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{x+6}{x-2}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003107601

Časť: 
C
Vypočítajte na intervale \( (3;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\frac{5x-3}{x^2-2x-3}\mathrm{d}x \]
\( \ln\!⁡\left[(x-3)^3\cdot(x+1)^2\right]+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\!⁡\left[(x-3)^2\cdot(x+1)^3\right]+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{(x-3)^2}{(x+1)^3}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln\frac{(x-3)^3}{(x+1)^2}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003018710

Časť: 
A
Štyria študenti počítali následujúci integrál \( I \) na \( (0;\infty) \). Kto urobil chybu? \[ I =\int\left(\frac18\sqrt[8]{x^3}+\frac12\sqrt{x^9}-\frac15\sqrt[5]{x^6} \right)\mathrm{d}x \]
Pavol: \( I =\frac1{11}\left(x^3\sqrt[8]x+x\sqrt{x^5}-x\sqrt[5]{x^2}\right)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Jana: \( I =\frac1{11}\left(x\sqrt[8]{x^3}+x^5\sqrt x-x^2\sqrt[5] x+c\right)\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Anna: \( I =\frac1{11}\left(x\sqrt[8]{x^3}+x^5\sqrt x-x^2\sqrt[5]x\right)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Mikuláš: \( I =\frac x{11}\sqrt[8]{x^3}+\frac{x^5}{11}\sqrt x-\frac{x^2}{11}\sqrt[5]x+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003018709

Časť: 
A
Štyria študenti počítali následujúci integrál \( I \) na \( \mathbb{R} \). Kto urobil chybu? \[ I =\int\left(5x^4+9x^2-6x\right)\mathrm{d}x \]
Pavel: \( I =\left(x^3+3\right)\cdot x^2-3x^3+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Jana: \( I =x^2\left(x^3+3x-3\right)+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Anna: \( I =x^5+3x^3-3x^2+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
Mikuláš: \( I=x^5+(3x-3)\cdot x^2+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003018708

Časť: 
A
Je daná funkcia \( F(x)= 5\,\mathrm{e}^x+2\sqrt x \). Nájdite takú funkciu \( f \), ku ktorej je \( F \) na \( (0;\infty) \) primitívna.
\( f(x)=5\,\mathrm{e}^x+\frac{\sqrt x}x \)
\( f(x)=5\,\mathrm{e}^x+\sqrt x \)
\( f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{\sqrt x}x \)
\( f(x)=5\,\mathrm{e}^x-\frac{\sqrt x}x \)

1003018707

Časť: 
A
Je daná funkcia \( F(x)=\frac23\cos ⁡x-\frac{x^2}2\cdot\ln⁡4 \). Nájdite takú funkciu \( f \), ku ktorej je \( F \) na \(\mathbb{R} \) primitívna.
\( f(x)=-\frac23\sin ⁡x-x\ln⁡4 \)
\( f(x)=\frac23\sin ⁡x-x\ln⁡4 \)
\( f(x)=\frac23\sin ⁡x-2x\ln⁡2 \)
\( f(x)=-\frac23\sin ⁡x-2x \)

1003018706

Časť: 
A
Vypočítajte na intervale \( (0;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\left(\frac5x-\frac x5\right)\mathrm{d}x \]
\( 5\ln|x|-\frac{x^2}{10}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( 5 x^0+\frac1{10}x^2+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( 5\ln x+\frac{x^2}{10}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \ln|x|+\frac{x^2}5+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)

1003018705

Časť: 
A
Vypočítajte na intervale \( (0;\infty) \) nasledujúci integrál. \[ \int\left(3\sqrt{x^7}-\sqrt[5]{x^4}\right)\mathrm{d}x \]
\( \frac23 x^4\sqrt x-\frac59 x\sqrt[5]{x^4}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \frac32 x^4\sqrt x-\frac95 x \sqrt[5]{x^4}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \frac29 x^4\sqrt x-\frac59 x\sqrt[5]{x^4}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)
\( \frac23\sqrt[9]{x^2}-\frac59\sqrt[9]{x^5}+c\text{, }c\in\mathbb{R} \)