Analytická geometria v priestore

1103212905

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Určte parametrické vyjadrenie priesečnice \( p \) rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je rovina prechádzajúce bodmi \( B \), \( C \) a \( V \) a \( \beta \) je rovina prechádzajúce bodmi \( A \), \( D \) a \( V \). Ďalej vypočítajte veľkosť odchýlky \( \varphi \) medzi rovinami \( \alpha \) a \( \beta \). Odchýlku \( \varphi \) zaokrúhlite na minúty.
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=0;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 53^{\circ}8'\\ y&=3+t, &\\ z&=6+2t;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} p\colon x&=3+t, & \varphi\doteq 63^{\circ}8'\\ y&=3, &\\ z&=6;\ t\in\mathbb{R}, & \end{aligned}\)

1103212904

Časť: 
C
Pravidelný štvorboký ihlan \( ABCDV \) s dĺžkou hrany podstavy \( 6 \) a telesovou výškou \( 6 \) je umiestnený v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom hrany \( AD \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcou bodmi \( B \), \( V \) a \( C \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od tejto roviny.
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{12\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2y+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon 2x+z-12=0;\ d=|S\alpha|=\frac{6\sqrt5}{5} \)

1103212903

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \varphi \) priamky \( AF \) od roviny \( \alpha \) prechádzajúcej bodmi \( E \), \( D \) a \( C \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \varphi = 30^{\circ} \)
\( \varphi = 15^{\circ} \)
\( \varphi = 45^{\circ} \)
\( \varphi = 60^{\circ} \)

1103212902

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Bod \( S \) je stredom steny \( ABFE \) a body \( K \) a \( L \) sú po rade stredy hrán \( DH \) a \( CG \) . Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \) prechádzajúcimi bodmi \( A \), \( B \) a \( L \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( S \) od roviny \( \alpha \).
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2z-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt5}{5} \)
\( \alpha\colon x+2y-2=0;\ |S\alpha|=\frac{2\sqrt3}{3} \)

1103212901

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=KL \) a \( q=MN \), kde body \( K \), \( L \), \( M \) a \( N \) sú po rade stredy hrán \( CD \), \( BC \), \( EH \) a \( EF \) .
\( |pq|=\sqrt6 \)
\( |pq|=2\sqrt3 \)
\( |pq|=3\sqrt2 \)
\( |pq|=2\sqrt2 \)

1003188803

Časť: 
A
Rovina \( \rho \) je určená bodom \( A=[3;1;1] \) a priamkou \( p \) danou parametrickým vyjadrením: \begin{align*} p\colon x&=4+4t, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} Určte parametrické vyjadrenie roviny \( \rho \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+s, \\ y&=-1-2t-2s, \\ z&=1+t;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+3s, \\ y&=-1-2t+s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t+4s, \\ y&=1-2t-s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=3+4t-4s, \\ y&=1-2t+2s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188802

Časť: 
A
Určte chýbajúce súradnice bodov \( M=[2;m;0] \) a \( N=[0;3;n] \) tak, aby tieto body ležali v rovine \( \rho \) danej parametrickým vyjadrením: \begin{align*} \rho\colon x&=4+2s, \\ y&=-1-2t, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{align*} Vyberte možnosť, v ktorom sú obidve hodnoty \( m \) a \( n \) správne.
\( m=-1 \), \( n=-3 \)
\( m=-1 \), \( n=3 \)
\( m=1 \), \( n=-3 \)
\( m=1 \), \( n=3 \)