Analytická geometria v priestore

1103212204

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systému (viď obrázok). Bod \( M \) je stred hrany \( EF \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \rho \) prechádzajúcu bodmi \( B \), \( D \) a \( G \) a vypočítajte vzdialenosť bodu \( M \) od roviny \( \rho \).
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z+2=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)
\( \rho\colon x-y+z=0;\ |M\rho|=2\sqrt3 \)

1103212202

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;3;2] \) a \( N=[0;6;7] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \) ktorá je súmerná s priamkou \( p \) v rovinovej súmernosti podľa súradnicovej roviny \( (yz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6+3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=-4t, \\ y&=6-3t, \\ z&=7+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212203

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;3;2] \) a \( N=[8;0;5] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \), ktorá je súmerná s priamkou \( p \) v rovinovej súmernosti podľa súradnicovej roviny \( (xz) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=0, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8+4t, \\ y&=-3t, \\ z&=5+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=8-4t, \\ y&=3t, \\ z&=5-3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1103212201

Časť: 
C
Priamka \( p \) je zadaná bodmi \( M=[4;2;0] \) a \( N=[6;6;7] \) (viď obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( p' \), ktorá je s priamkou \( p \) rovinovo súmerná podľa súradnicovej roviny \( (xy) \).
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=-7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+2t, \\ y&=2+4t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p'\colon x&=4+6t, \\ y&=2+6t, \\ z&=7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124006

Časť: 
A
Určte hodnotu parametra \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( D=[-2;1;1] \) ležal na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=1+m,\\ y&=-2+m,\\ z&=a+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
taká hodnota \(a \) neexistuje
\( a=-1 \)
\( a=0 \)
\( a = 1\)

1003124005

Časť: 
A
Určte hodnotu parametra \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( C=[2;0;6] \) ležal na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=a+m,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned}\]
\( a=-3 \)
\( a=0 \)
\( a=-1 \)
taká hodnota \(a \) neexistuje

1003124004

Časť: 
A
Určte hodnotu parametra \( a\in\mathbb{R} \) tak, aby bod \( B=[1;4;5] \) ležal na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=-1+m,\\ y&=2+am,\\ z&=3+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}\]
\( a=1 \)
\( a=-1 \)
\( a=2 \)
taká hodnota \( a \) neexistuje

1003124003

Časť: 
A
Určte chýbajúce súradnice bodov \( B=[x_B; y_B;-3] \) ležiaceho na priamke \( p \) s parametrickým vyjadrením: \[\begin{aligned} x&=-1+\frac14m,\\ y&=2+m,\\ z&=5-m;\ m\in\mathbb{R}\end{aligned} \]
\( B=[1;10;-3] \)
\( B=[-3;-6;-3] \)
\( B=[1;3;-3] \)
\( B=[-3;6;-3] \)

1003124002

Časť: 
A
Z ponúknutých možností vyberte parametrické rovnice, ktoré určujú priamku \( p \) prechádzajúcu bodmi \( A=[-2;0;1] \) a \( B=[2;0;-3] \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=0, \\ z&=-3+4t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=0, \\ z&=-3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003124001

Časť: 
A
Je daná priamka \( q=\left\{[3t;2-2t;1+t]\text{, }t\in\mathbb{R}\right\} \) a body \( A=[-6;6;-1] \), \( B=[-3;0;0] \), \( C=[0;2;1] \) a \( D=[3;0;2] \). Vyberte z týchto štyroch bodov všetky, ktoré ležia na priamke \( q \), a túto možnosť označte.
\( A \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \), \( D \)
\( B \), \( C \)
\( A \), \( B \), \( C \)