Analytická geometria v priestore

2010005006

Časť: 
B
Určte odchýlku priamky \(q\) a roviny \(\sigma \). \[ \sigma \colon 2x-z+4 = 0;\qquad \qquad \begin{aligned}[t] q\colon x& = 5r, & \\y & = -3+2r, \\z & = -2;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \] Výsledok zaokrúhlite na minúty.
\(56^{\circ }09'\)
\(56^{\circ }08'\)
\(33^{\circ }51'\)
\(33^{\circ }52'\)

2010005005

Časť: 
B
Sú dané body \(C = [-2;3;-1]\), \(D= [1;2;-3]\) a priamka \(p\). Určte odchýlku priamok \(CD\) a \(p\).\[ \begin{aligned}p\colon x& = 2 -s, &\\y & = 3,\\z & = 2s;\ s\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \] Výsledok zaokrúhlite na minúty.
\(33^{\circ }13'\)
\(56^{\circ }47'\)
\(90^{\circ }\)
\(146^{\circ }47'\)

2010005004

Časť: 
B
Určte vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín \(\rho \) a \(\sigma \). \[ \begin{aligned} \rho& \colon 2x - 0{,}5y - 4z - 4 = 0,\\ \sigma &\colon 4x - y - 8z -2 = 0 \end{aligned}\]
\(\frac{2} {3}\)
\(\frac{11} {9}\)
\(\frac{10} {9}\)
\(\frac{4} {3}\)

2010005003

Časť: 
A
Určte hodnotu reálneho parametra \(p\) tak, aby priamky \(a\) a \(b\) boli mimobežné. \[ \begin{aligned}a\colon x& =- 1 + 2m, & \\y & = 1 - pm, \\z & = 2 - m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\qquad \qquad \begin{aligned}b\colon x& = 3+2n, & \\y & = 1-n, \\z & = 5+4n;\ n\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(p\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
\(p = -1\)
Pre žiadne reálne \(p\) nie sú dané priamky mimobežné.
Pre každé reálne \(p\) sú dané priamky mimobežné.

2010005002

Časť: 
A
Určte priesečník priamky \(KL\) a priamky \(q\), prípadne zaškrtnite, že neexistuje. \(K = [1;3;5]\), \(L = [3;-2;4]\) a \[ \begin{aligned}q\colon x& = 1 + r, & \\y & = 5 - 2r, \\z & = 3 - r;\ r\in \mathbb{R}. \\ \end{aligned} \]
\([-3;13;7]\)
\([5;-7;3]\)
\([5;-3;-1]\)
Priesečník daných priamok neexistuje.

2010005001

Časť: 
A
Určte vzájomnú polohu priamok $a$ a $b$, ak: \[\begin{aligned} a\colon x & = 3 -2m, & & \\y & = 4 - 3m, & & \\z & = 4+m;\ m\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\] \[\begin{aligned} b\colon x & = - n, & & \\y & = -5, & & \\z & = 4-3n;\ n\in \mathbb{R} & & \end{aligned}\]
Dané priamky sú mimobežné.
Dané priamky sú totožné.
Dané priamky sú rôznobežné.
Dané priamky sú rovnobežné rôzne.

1003233607

Časť: 
C
Určte polohu troch rovín: \begin{align*} \alpha\colon\ &2x+y+9z-18=0, \\ \beta\colon\ &x+3y+2z+16=0, \\ \gamma\colon\ &x+2y+3z+6=0. \end{align*}
Roviny $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ sa pretínajú v jednej priamke.
Každá z týchto dvoch rovín sa pretína a priesečníkmi sú tri rôzne priamky, ktoré sú navzájom rovnobežné.
Všetky tri roviny sa pretínajú len v jednom bode.

1003233605

Časť: 
C
Dané sú mimobežné priamky $p$ a $q$. \begin{align*} p\colon x&= 1-t, & q\colon x&= 1-2s, \\ y&= 1+t, & y&=s, \\ z&= 3+2t;\ t\in\mathbb{R}, & z&= 3+3s;\ s\in\mathbb{R}. \end{align*} Nájdite parametrické vyjadrenie priamky r, ktorá pretína obe priamky $p$ a $q$ a leží v rovine $x+2y-z+2=0$.
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+2m, \\ y&=3-3m, \\ z&=7-4m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3+3m, \\ z&=7-m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+3m, \\ y&=3+2m, \\ z&=7+5m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} r\colon x&=-1+m, \\ y&=3-m, \\ z&=7+m;\ m\in\mathbb{R} \end{aligned}$