Analytická geometria v priestore

1003188801

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[2;4;0] \), \( B=[4;-1;1] \) a \( C=[0;1;1] \). Z ponúknutých možností vyberte parametrické rovnice, ktoré vyjadrujú rovinu \( \rho \) danú bodmi \( A \), \( B \) a \( C \).
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+2t+2s, \\ y&=-1-t-5s, \\ z&=1+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=4+4t+2s, \\ y&=-1-2t-5s, \\ z&=1+t+s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t+4s, \\ y&=1-t-2s, \\ z&=1;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \rho\colon x&=2t-2s, \\ y&=1-5t+5s, \\ z&=1+t-s;\ t,s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103188706

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[2;4;0] \) a \( B=[4;7;6] \). Určte parametrické rovnice priamky \( q \), ktorá je pravouhlým priemetom priamky \( AB \) do súradnicovej roviny \( (xy) \).
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=7+3t, \\ z&=0;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=2+4t, \\ y&=4+7t, \\ z&=6t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=7+3t, \\ z&=6;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=2-2t, \\ y&=4-3t, \\ z&=-6t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103188705

Časť: 
A
Určte parametrické rovnice priamky \( p \), ktorá prechádza bodom \( K=[4;2;3] \), je rovnobežná so súradnicovou rovinou \( (xy) \) a je rôznobežná s osou \( z \).
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4+2t, \\ y&=2+t, \\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=2, \\ z&=3+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=4-2t, \\ y&=2-4t, \\ z&=3t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003188704

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[-4;1;4] \) a \( B=[4;-3;0] \). Zistite, ktoré z nasledujúcich parametrických vyjadrení nie je vyjadrením polpriamky \( AB \).
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;\infty) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \mapsto AB\colon x&=-4-8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4+4t;\ t\in(-\infty;0\rangle \end{aligned}$

1003188703

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[-4;1;4] \) a \( B=[4;-3;0] \). Zistite, ktoré z nasledujúcich parametrických vyjadrení nie je parametrickým vyjadrením úsečky \( AB \).
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1+4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+8t, \\ y&=1-4t, \\ z&=4-4t;\ t\in\langle0;1\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=4+8t, \\ y&=-3-4t, \\ z&=-4t;\ t\in\langle-1;0\rangle \end{aligned}$
$\begin{aligned} AB\colon x&=-4+2t, \\ y&=1-t, \\ z&=4-t;\ t\in\langle0;4\rangle \end{aligned}$

1003188702

Časť: 
A
Sú dané body \( A=[-2;3;0] \), \( B=[6;1;6] \) a \( C=[1;0;4] \). Určte parametrické vyjadrenie priamky \( p \), ktorá prechádza bodom \( C \) a stredom úsečky \( AB \).
$\begin{aligned} p\colon x&=1+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=-t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1-t, \\ y&=2t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p\colon x&=1+2t, \\ y&=t, \\ z&=4+t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1003164406

Časť: 
A
Zistite, či niektorá z priamok \( p \), \( q \), \( r \) zadaných parametrickým vyjadrením prechádza začiatkom súradnicovej sústavy. \begin{align*} p\colon x&=-2+4t, & q\colon x&=-5-5s, & r\colon x&=3-6u, \\ y&=1-2t, & y&=2-2s, & y&=-\frac12+u, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb R & z&=5+5s;\ s\in \mathbb R & z&=2-4u;\ u\in \mathbb R \end{align*}
Áno, je to priamka \( r \).
Áno, je to priamka \( p \).
Áno, je to priamka \( q \).
Žiadna z priamok neprechádza začiatkom.

1003164405

Časť: 
A
Zistite, či priamka \( p \) s parametrickým vyjadrením: \begin{align*} x&=-2+2t, \\ y&=1+3t, \\ z&=-3+3t;\ t\in\mathbb{R} \end{align*} pretína niektorú súradnicovú os.
Áno, pretína os \( y \).
Áno, pretína os \( x \).
Áno, pretína os \( z \).
Nepretína žiadnu súradnicovú os.

1003164404

Časť: 
A
Priamka \( p \) je zadaná svojím parametrickým vyjadrením: \begin{align*} x&=3+t, \\ y&=2-t, \\ z&=4;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Určte súradnice bodu \( M \), v ktorom priamka \( p \) pretína súradnicovú rovinu \( (xy) \).
Taký bod \( M \) neexistuje.
\( M=[0;0;4] \)
\( M=[-3;2;0] \)
\( M=[1;-1;0] \)