Analytická geometria v priestore

1003188907

Časť: 
A
Sú dané rôznobežné roviny \( x-6y+9z-4=0 \) a \( x-2y+3z-4=0 \). Určte parametrické rovnice ich priesečnice \( p \).
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t, \\ y&=\phantom{4+}\ 3t, \\ z&=\phantom{4+}\ 2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4, \\ y&=\frac32+3t , \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=4+t , \\ y&=\frac32+3t , \\ z&=1+2t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

1003188906

Časť: 
A
Roviny \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) a \( \delta \) sú dané svojimi všeobecnými rovnicami: \[ \begin{aligned} &\alpha\colon \frac23x-4y+6z-\frac83=0; \\ &\beta\colon x-2y+3z-4=0; \\ &\gamma\colon 2x-12y+18z-4 =0; \\ &\delta\colon x-6y+9z-4 =0. \end{aligned} \] Určte, ktoré z nasledujúcich tvrdení nie je pravdivé.
\( \alpha \parallel\delta\text{, }\alpha\neq\delta \)
Roviny \( \beta \) a \( \delta \) sú rôznobežné.
\( \gamma\parallel\delta\text{, }\gamma\neq\delta \)
Roviny \( \alpha \) a \( \beta \) sú rôznobežné.
\( \alpha = \delta \)

1003188905

Časť: 
A
Vyšetrite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 5x-4y+z-4=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=-1+t,\\ y&=2-2t,\\ z&=3+t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)
\( p\parallel \rho\text{, } p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)

1003188904

Časť: 
A
Vyšetrite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 7x-2y+z-2=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=3+t, \\ y&=-5-2t, \\ z&=3-11t;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p\parallel \rho\text{, }p\not{\!\!\subset}\rho \)
\( p \subset \rho \)
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)

1003188903

Časť: 
A
Zistite vzájomnú polohu roviny \( \rho \): \( 2x-y+z-2=0 \) a priamky \( p \) danej parametrickými rovnicami: \[ \begin{aligned} x&=2-t, \\ y&=5-2t, \\ z&=3;\ t\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]
\( p \subset \rho \)
\( p\parallel\rho\text{, }p\not{\!\!\subset} \rho \)
\( p \) pretína rovinu \( \rho \)

1103188902

Časť: 
A
Rovinám znázorneným na obrázkoch priraďte ich všeobecné rovnice.
\( \alpha\colon y-2=0;\ \beta\colon z-2=0;\ \gamma\colon x-2=0 \)
\( \alpha\colon y+2=0;\ \beta\colon z+2=0;\ \gamma\colon x+2=0 \)
\( \alpha\colon x+z-2=0;\ \beta\colon x+y-2=0;\ \gamma\colon y+z-2=0 \)
\( \alpha\colon x-y+z-2=0;\ \beta\colon x+y-z-2=0;\ \gamma\colon -x+y+z-2=0 \)

1103212206

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Priamka \( p \) je priesečnica rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určená bodmi \( C \), \( F \), \( H \) a \( \beta \) je určená bodmi \( A \), \( F \), \( H \). Určte parametrické vyjadrenie priamky \( p \) a vypočítajte odchýlku \( \varphi \) rovín \( \alpha \) a \( \beta \) . Odchýlku \( \varphi \) zaokrúhlite na minúty.
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=2t, & \varphi&\doteq 90^{\circ} \\ y&=2t, & & \\ z&=2+2t;\ t\in\mathbb{R}, \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&=t, & \varphi&\doteq 90^{\circ}\\ y&=t, & & \\ z&=2;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p\colon x&= 2t, & \varphi&\doteq 70^{\circ}32' \\ y&=2t, & & \\ z&=2t;\ t\in\mathbb{R}, & & \end{aligned} \)

1103212205

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH \) s dĺžkou hrany \( 2 \) je umiestnená v súradnicovom systéme (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných rovín \( \alpha \) a \( \beta \), kde \( \alpha \) je určená bodmi \( B \), \( D \), \( G \) a \( \beta \) je určená bodmi \( A \), \( F \), \( H \).
\( |\alpha\beta|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{4\sqrt3}3 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\alpha\beta|=\frac{3\sqrt3}4 \)