Analytická geometria v priestore

1103233603

Časť: 
C
V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte odchýlku jeho stien a zaokrúhlite ju na minúty.
$70^{\circ}32'$
$54^{\circ}44'$
$45^{\circ}$
$51^{\circ}4'$

1103233602

Časť: 
C
V kocke $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$, ktorá je umiestnená v súradnicovom systéme, je vyznačený pravidelný štvorsten $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte vzdialenosť jeho protiľahlých hrán. \[ \] Nápoveda: Protiľahlé hrany štvorstena ležia na mimobežných priamkach. Ich vzdialenosť je rovná vzdialenosti stredu jednej hrany od hrany k nej protiľahlej.
$1$
$\sqrt3$
$\frac{\sqrt3}2$
$\frac{\sqrt5}2$

1103233601

Časť: 
C
Nech $ABCDEFGH$ je kocka s dĺžkou hrany $1$ umiestnená v pravouhlon súradnicovo systéme. V kocke je zvýraznený pravidelný tetraéder $ACHF$ (viď obrázok). Vypočítajte jeho výšku.\[ \] Nápoveda: Nájdite napr. vzdialenosť medzi bodom $F$ a rovinou $ACH$.
$\frac{2\sqrt3}3$
$\frac{\sqrt3}3$
$\frac{2\sqrt6}3$
$\frac23$

1003189005

Časť: 
B
Priamka \( p \) ja daná parametrickými rovnicami: \begin{align*} x&=1+t, \\ y&= 1+2t, \\ z&= 4-t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Určte parametrické rovnice priamky \( p' \), ktorá je kolmým priemetom priamky \( p \) do súradnicovej roviny \((xy)\) .
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9+2s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+s, \\ y&= 9-2s, \\ z&=0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=1+s, \\ y&=1+2s, \\ z&= 4;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$
$\begin{aligned} p'\colon x&=5+2s, \\ y&=9+s, \\ z&= 0;\ s\in\mathbb{R} \end{aligned}$

1103189004

Časť: 
B
Je daný bod \( A=[2;-1;-4] \) a roviny \( \rho \): \( x-y+3z-5=0 \) a \( \sigma \): \( 2x-y-z-8=0 \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá prechádza bodom \( A \) a je kolmá k obom daným rovinám (viď obrázok).
\( \alpha\colon 4x+7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon -2x+5y-3z-3=0 \)
\( \alpha\colon 4x-7y+z+3=0 \)
\( \alpha\colon 2x-5y+3z+3=0 \)

1103189003

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza priamkou \( p \) danou parametrickými rovnicami \begin{align*} x&=1+2t, \\ y&=-2t, \\ z&=1+t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a je kolmá k rovine \( \alpha \): \( x+3y-z-7=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x-3y-8z+7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z-3=0 \)
\( \beta\colon x-3y-8z-7=0 \)
\( \beta\colon 2x-2y+z+3=0 \)

1103189002

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \beta \), ktorá prechádza bodmi \( M=[-1;1;-3] \) a \( N=[0;2;-1] \) a je kolmá na rovinu \( \alpha \): \( 3x-y+2=0 \) (viď obrázok).
\( \beta\colon x+3y-2z-8=0 \)
\( \beta\colon x+3z+10=0 \)
\( \beta\colon x+3z+3=0 \)
\( \beta\colon x+3y-2z+8=0 \)

1103189001

Časť: 
B
Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \alpha \), ktorá je kolmá na priamku \( p \): \begin{align*} x&=7+t, \\ y&=2t, \\ z&=4-t;\ t\in\mathbb{R}, \end{align*} a prechádza bodom \( A=[1;0;4] \). Ďalej vypočítajte súradnice bodu \( B \), v ktorom priamka \( p \) pretína rovinu \( \alpha \) (viď obrázok).
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3;\ B=[6;-2;5] \)
\( \alpha\colon x+2y-z-3=0;\ B=[8;2;3] \)
\( \alpha\colon x+2y-z+3=0;\ B=[8;2;3] \)