Analytická geometria v priestore

2010008710

Časť: 
C
Nájdite obraz bodu \(R=[1; 10; -8]\) v súmernosti podľa roviny \(\omega \colon 2x - y -3z + 12 = 0\). Nápoveda: Priamka \(RR'\) je kolmá na rovinu \(\omega\) (viďte obrázok).
\(R'=[-7;14;4]\)
\(R'=[-3;12;-2]\)
\(R'=[-1;-10;8]\)
\(R'=[-5;34;-14]\)

2010008709

Časť: 
C
Nájdite obraz bodu \(P=[4; −8; 7]\) v súmernosti podľa roviny \(\sigma \colon 3x - 2y + 4z + 2 = 0\). Nápoveda: Priamka \(PP'\) je kolmá na rovinu \(\sigma\) (viďte obrázok).
\(P'=[-8;0;-9]\)
\(P'=[-2;-4;-1]\)
\(P'=[10;-12;15]\)
\(P'=[16;-16;23]\)

2010008708

Časť: 
C
Určte obraz bodu \(B=[4;-8;-7]\) v osovej súmernosti podľa priamky \(q\): \begin{align*} q\colon x&= 2+3t, \\ y&= 8+4t, \\ z&= -7-2t;\ t\in\mathbb{R}. \end{align*} Nápoveda: viďte obrázok.
\(B'=[-12;8;1]\)
\(B'=[-4;0;-3]\)
\(B'=[-4;-8;-13]\)
\(B'=[-4;8;7]\)

2010008707

Časť: 
C
V kocke \(ABCDEFGH\) s hranou dĺžky \(2\) jednotky, ktorá je umiestnená v súradnicovej sústave, je vyznačený pravidelný štvorsten \(BDEG\) (viďte obrázok). Vypočítajte odchýlku jeho stien a zaokrúhlite ju na minúty.
\(70^{\circ}32'\)
\(45^{\circ}0'\)
\(51^{\circ}4'\)
\(54^{\circ}44'\)

2010008706

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte odchýlku \( \psi \) priamky \( CF \) od roviny \( \rho \), prechádzajúcej bodmi \( B \), \( D \) a \( H \). Nápoveda: Odchýlka priamky od roviny je odchýlka priamky od jej kolmého priemetu do tejto roviny.
\( \psi = \frac{\pi}6 \)
\( \psi = \frac{\pi}{12} \)
\( \psi = \frac{\pi}4 \)
\( \psi = \frac{\pi}3 \)

2010008705

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 4 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok \( p=PQ\) a \( r=RS \), kde body \( P \), \( Q \), \( R\) a \( S \) sú po rade stredy hrán \(BF\), \(BC\), \(EH\) a \(DH\).
\( |pr|=2\sqrt6 \)
\( |pr|=4\sqrt3 \)
\( |pr|=6\sqrt2 \)
\( |pr|=4\sqrt2 \)

2010008704

Časť: 
C
Kocka \( ABCDEFGH\), s dĺžkou hrany \( 3 \) jednotky, je umiestnená v súradnicovej sústave (viďte obrázok). Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných rovín \( \rho \) a \( \sigma \), kde \( \rho \) je určená bodmi \( D \), \( E \), \( G \) a \( \sigma \) je určená bodmi \( A \), \( C \), \( F \).
\( |\rho\sigma|=\sqrt3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{2\sqrt3}3 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{3\sqrt3}2 \)
\( |\rho\sigma|=\frac{4\sqrt3}3 \)

2010008703

Časť: 
C
Priamka \( q \) je daná bodmi \( K=[6;6;7] \) a \( L=[4;0;2] \) (viďte obrázok). Určte parametrické rovnice priamky \( q' \), ktorá je s priamkou \( q \) súmerná podľa súradnicovej roviny \( xz \).
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+2t, \\ y&=6t, \\ z&=2+5t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} q'\colon x&=4+6t, \\ y&=-6t, \\ z&=2+7t;\ t\in\mathbb{R} \end{aligned} \)

2010008702

Časť: 
B
Daný je bod \( P=[3;-4;-5] \) a roviny \( \alpha \): \( 2x-y-3z-5=0 \) a \( \beta \): \( 3x-2y-4z+3=0 \). Určte všeobecnú rovnicu roviny \( \sigma \), ktorá prechádza bodom \( P \) a je kolmá na dané roviny \(\alpha\) a \(\beta\) (viďte obrázok).
\( \sigma\colon 2x+y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y-z+15=0 \)
\( \sigma\colon 2x-y+z-5=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-z-7=0 \)

2010008701

Časť: 
B
Dané sú body \(K = [ 1; −2; 1]\), \(L = [2; 0; −3]\) a rovina \(\rho\): \(x-2z+3=0\). Určte všeobecnú rovnicu roviny \(\sigma\) obsahujúcu priamku \(KL\), ktorá je kolmá na rovinu \(\rho\) (viďte obrázok).
\( \sigma\colon 2x+y+z-1=0 \)
\( \sigma\colon 2x+3y+2z+2=0 \)
\( \sigma\colon 2y+z+3=0 \)
\( \sigma\colon 2x+y-4=0 \)