Kombinatorika

9000141508

Část: 
B
Určete množinu všech řešení dané rovnice. \[ \left({x\above 0.0pt x}\right) +\left ({x+1\above 0.0pt x} \right) +\left ({x+2\above 0.0pt x} \right) +\left ({x+3\above 0.0pt x} \right) = \frac{x^{3}+59} {6} \]
\(\{1\}\)
\(\{4\}\)
\(\{10\}\)

9000139305

Část: 
A
Skupina \(20\) studentů se má ubytovat v penzionu. Recepční má k dispozici \(5\) třílůžkových pokojů a \(1\) pětilůžkový. Kolika způsoby je možné vybrat pět studentů, kteří budou ubytování v pětilůžkovém pokoji?
\(\frac{20!} {5!\; 15!}=15\:504\)
\(20\cdot 3\cdot 5=300\)
\(\frac{20!} {3!\; 5!}=3\:379\:030\:566\:912\:000\)
\(20^{5}=3\:200\:000\)

9000139702

Část: 
A
Závodů se zúčastnilo \(12\) závodníků. Určete, kolika způsoby mohou být uděleny zlatá, stříbrná a bronzová medaile, pokud každou z medailí může získat pouze jeden závodník.
\(\frac{12!} {9!} =1\:320\)
\(3^{12}=531\:441\)
\(\frac{12!} {9!\, 3!}=220\)
\(12!\, 3!=2\:874\:009\:600\)

9000139707

Část: 
A
Morseova abeceda používá tečky a čárky. Určete počet jednomístných až čtyřmístných skupin tvořených pomocí teček a čárek.
\(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4}=30\)
\(1 + 2 + 3! + 4!=33\)
\(\frac{4!} {3!\, 2!}=2\)
\(2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4=20\)

9000140504

Část: 
B
Z nabízených možností vyberte výraz, který se pro všechna \(n\in \mathbb{N}\), $n\geq2$ rovná výrazu \(\frac{n\cdot (n-2)!} {(n-1)\cdot n!}\).
\(\frac{1} {(n-1)^{2}} \)
\(\frac{(n^{2}-2n)!} {(n^{2}-n)!} \)
\(\frac{n+1} {n-1}\)
\(\frac{(n-2)!} {(n-1)!}\)

9000139708

Část: 
A
Na polici je \(9\) různých knih v češtině a \(6\) různých knih cizojazyčných. Určete, kolika způsoby můžeme knihy přeskládat tak, aby za sebou byly seřazeny nejprve česky psané knihy a za nimi knihy cizojazyčné.
\(9!\, 6!=261\:273\:600\)
\(9^{6}=531\:441\)
\(\frac{9!} {6!}=504\)
\(\frac{9!} {6!\, 3!}=84\)