Goniometrické rovnice a nerovnice

2010014905

Část: 
B
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení dané rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ \mathop{\mathrm{tg}}^2\nolimits x - 2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x -3=0 \]
substituce \( \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x =y\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x -2)=3\)
\(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-2\frac{\sin x}{\cos x}-3=0\)
\(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x-2=3-\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x \)

2010014904

Část: 
B
Z nabízených možností vyberte nejlepší substituci nebo úpravu, kterou můžeme použít při řešení dané rovnice. Za nejlepší nepovažujeme tu možnost, kterou sice použít můžeme, ale řešení se tím zkomplikuje. \[ 3 \cos^2 x =2\sin x \cos x \]
\(\cos x (3\cos x-2\sin x)=0\)
\(3\cos x=2\sin x\)
\(3(1-\sin^2 x)=2\sin x \cos x\)
\(\frac{3\cos^2 x}{2\sin x \cos x}=1\)

2010014903

Část: 
B
Řešením nerovnice \( \cos\,x < -\frac{\sqrt3}{2} \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je množina:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{7\pi}6+2k\pi\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}6+k\pi;\frac{7\pi}6+k\pi\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{11\pi}6+2k\pi\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{5\pi}6+2k\pi;\frac{5\pi}6+2k\pi\right) \)

2010014902

Část: 
B
Řešením nerovnice \( \mathrm{tg}\, x > -\frac{\sqrt3}3 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je množina:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}6+k\pi;\ \frac{\pi}2+k\pi\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}3+k\pi;\ \frac{\pi}2+k\pi\right) \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}6+k\pi;\ \frac{\pi}6+k\pi\right)\)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}6+k\pi;\ \pi+k\pi\right) \)

2010014901

Část: 
B
Řešením nerovnice \( \sin x \geq \frac{\sqrt{2}}2 \) pro \( x\in\mathbb{R} \) je množina:
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle\frac{\pi}4+2k\pi;\ \frac{3\pi}4+2k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle \frac{\pi}4+k\pi;\ \frac{3\pi}4+k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle -\frac{\pi}4+2k\pi;\ \frac{\pi}4+2k\pi\right\rangle \)
\( \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\langle -\frac{\pi}4+k\pi;\ \frac{\pi}4+k\pi\right\rangle \)

2010012005

Část: 
A
Aritmetický průměr všech hodnot \( \varphi \) mezi \( 0^{\circ} \) a \( 360^{\circ} \), která vyhovují rovnici \( \sin\!\left(\varphi - 40^{\circ}\right) = 0 \), je:
\( 130^{\circ} \)
\( 220^{\circ} \)
\( 40^{\circ} \)
\( 180^{\circ} \)

2010012004

Část: 
A
Nejmenší hodnota \( \varphi \), kde \( 0^{\circ} < \varphi < 180^{\circ} \), která vyhovuje rovnici \( \mathrm{tg}\!\left(2\varphi + 34^{\circ}\right) = -\frac{\sqrt3}{3} \), je:
\( 58^{\circ} \)
\( 148^{\circ} \)
\( 29^{\circ} \)
\( 92^{\circ} \)

2010012002

Část: 
A
Řešte rovnici \( \cos^2x = \sqrt2 \cos x \) s neznámou \( x\in\mathbb{R} \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}2+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi ;\frac{\pi}2+k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{ \frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x \in \emptyset \)

2010012001

Část: 
A
Najděte všechna \( x\in\mathbb{R} \), pro která \( \mathrm{tg}^2x = \mathrm{tg}\,x \).
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{k\pi\right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)
\( x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}} \left\{\frac{\pi}2+k\pi;\frac{\pi}4+k\pi \right\} \)