Najděte úhel $x$, který je řešením rovnice: $$3\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4-7\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Pro výpočet úhlu použijte kalkulačku. Výsledný úhel zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Janino řešení:
(1) Převedením všech členů obsahujících funkci kosinus na jednu stranu rovnice a jejich sečtením získala Jana zjednodušenou rovnici: \begin{aligned} 10\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=4\cr \cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=0{,}4 \end{aligned} (2) Použitím substituce $b=\frac{x}{3}+30^\circ$ dále rovnici zjednodušila: $$\cos b=0{,}4$$ (3) Poté použila kalkulačku k vyřešení této základní goniometrické rovnice. Po zaokrouhlení na jedno desetinné místo určila hodnotu substituované neznámé: $$b\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}$$ (4) Nakonec, po zpětné substituci vyjádřila neznámou $x$: \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&=66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Avšak Jana v jednom kroku udělala chybu. Určete chybný krok.
Chyba je v kroku (1). Jana udělala chybu při zjednodušování rovnice. Správná zjednodušená rovnice měla být: $$-4\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4$$
Chyba je v kroku (2). Substituce měla být: $$b=\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Pak by substituovaná neznámá byla $b=0{,}4$.
Chyba je v kroku (3). Rovnice $\cos b=0{,}4$ má dvě řešení na intervalu $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$.
Chyba je v kroku (4). Při vyjadřování neznámé $x$, Jana chybně určila periodu. Správný výsledek měl být. \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&\approx66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}
Rovnice $\cos b=0{,}4$ má dvě řešení na intervalu $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$. Nicméně kalkulačka zobrazuje pouze řešení z prvního kvadrantu!
Kromě řešení v prvním kvadrantu: $$b_1\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ$$ musíme také zapsat řešení ve čtvrtém kvadrantu: $$b_2\approx\left(360^\circ-66{,}4^\circ\right)+k\cdot360^\circ$$ Nakonec se musíme vrátit k substituci a vyřešit neznámou $x$:
Pro řešení v prvním kvadrantu: \begin{aligned} b_1&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_1}{3}+30^\circ&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot 360^\circ\cr \frac{x_1}{3}&\approx 36{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} Pro řešení ve čtvrtém kvadrantu: \begin{aligned} b_2&\approx293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_2}{3}+30^\circ&\approx 293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr \frac{x_2}{3}&\approx263{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_2&\approx790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} Zápis konečného výsledku tedy je: \begin{aligned} x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z}\cr x_2&\approx 790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}