Rozwiąż nierówność: $$\mathrm{cotg}\,x<-1\quad\mbox{dla }x\in\mathbb{R}$$
Robert rozwiązał zadanie w następujących krokach:
(1) Określił punkty, w których funkcja $y = \mathrm{cotg}\,x$ nie jest zdefiniowana, a tym samym określił swoją dziedzinę: $$D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\cdot\pi; k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(2) Robert znalazł rozwiązanie równania $\mathrm{cotg}\,x=-1$, który jest zbiorem: $$K_1=\left\{\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(3) Stwierdził, że funkcja cotangens jest malejąca w swojej dziedzinie, więc wartość $\mathrm{cotg} x$ będzie mniejsza niż $-1$ kiedy $x$ jest większa niż $\frac{3\pi}{4}$. Dlatego napisał: $$\mathrm{cotg} x<-1\Leftrightarrow x > \frac{3\pi}{4}$$
(4) Wreszcie, wykluczył punkty, które nie są domeną $\mathrm{cotg} x$ z wyniku uzyskanego w kroku (3) i zapisał rozwiązanie: $$K=\left(\frac{3\pi}{4};+\infty\right)\backslash \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\cdot\pi\right\}$$ Rozwiązanie nie jest poprawne. W którym kroku Robert popełnił błąd?
Błąd występuje w kroku (1). Dziedzina funkcji cotangens nie jest określona poprawnie.
Błąd tkwi w kroku (2). Okres w rozwiązaniu równania $\mathrm{cotg} x=-1$ jest określona nieprawidłowo.
Błąd tkwi w kroku (3). Funkcja $\mathrm{cotg} x$ nie jest malejąca w całej dziedzinie.
Błąd tkwi w kroku (4). Punkty, w których funkcja nie jest zdefiniowana, nie muszą być wykluczone z przedziału uzyskanego w kroku (3).
Przedstawiamy prawidłowe rozwiązanie. Funkcja $\mathrm{cotg} x$ jest malejąca tylko na otwartych przedziałach ograniczonych przez dwa sąsiednie punkty, w których cotangens nie jest zdefiniowany, tj. na przedziałach: $$\ldots,(-\pi;0),\ (0;\pi),\ (\pi;2\pi),\ (2\pi;3\pi),\ (3\pi;4\pi),\ldots$$ Dlatego możemy znaleźć rozwiązanie nierówności $\mathrm{cotg} x<-1$ w każdym przedziale $(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi)$ jako: $$\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi<x<\pi+k\cdot\pi,\ \mbox{ where } k\in\mathbb{Z},$$ Rozwiązanie można zapisać jako połączenie wszystkich odpowiednich podprzedziałów: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$