Tarea: Soluciona la inecuación: $$\cot x < \sqrt3\ \mbox{ para }\ x\in\mathbb{R}.$$ María solucionó la tarea en los siguientes pasos:
(1) Identificó los puntos en los que la función cotangente es indefinida: $$x=k\cdot\pi,\ \mbox{ donde }\ k\in\mathbb{Z}$$
(2) Estableció y resolvió la ecuación $\cot x=\sqrt3$: $$x=\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi,\ \mbox{ donde }\ k\in\mathbb{Z}$$ (3) Afirmó que la función cotangente es decreciente en todo intervalo abierto limitado por dos puntos consecutivos en los que es indefinida, es decir, en los intervalos: $$\left(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ donde }\ k\in\mathbb{Z}$$ (4) María afirmó además que los dos pasos anteriores implican que para cada $k\in\mathbb{Z}$: $$\cot x<\sqrt3\Leftrightarrow 0+k\cdot\pi< x < \frac{\pi}{6}+k\cdot\pi$$ (5) Por último, escribió la solución de la inecuación obtenida en el paso anterior de la forma: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(0+k\cdot\pi;\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi\right)$$ La solución es incorrecta. ¿En qué paso se equivocó María?
El error está en el paso (1). María identificó incorrectamente los puntos en los que la función cotangente es indefinida.
El error está en el paso (2). María solucionó incorrectamente la ecuación $\cot x=\sqrt3$.
El error está en el paso (3). La función cotangente es decreciente sobre su dominio.
El error está en el paso (4). Marie aplicó incorrectamente la propiedad de la función cotangente descrita en el paso (3) para resolver la inecuación $\cot x<\sqrt3$.
La función cotangente es decreciente en cada intervalo abierto limitado por dos puntos consecutivos en los que la función es indefinida, es decir, en los intervalos $$\left(0+k\cdot\pi; \pi+k\cdot\pi\right),\mbox{ where } k\in\mathbb{Z}.$$ Por lo tanto, en cada uno de estos intervalos (es decir, para cada $k\in\mathbb{Z}$), que sostiene (véase la figura): $$\cot x< \sqrt3\Leftrightarrow\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi< x< \pi+k\cdot\pi$$
Podemos escribir la solución de la inecuación $\cot x< \sqrt3$ como: $$K=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$
