Resolver la desigualdad: $$\cot x<-1\quad\mbox{para }x\in\mathbb{R}$$
Robert resolvió la tarea en los siguientes pasos:
(1) Determinó los puntos en los que la función $y = \cot x$ no está definida y, por tanto, determinó su dominio: $$D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\cdot\pi; k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(2) Robert encontró la solución de la ecuación $\cot x=-1$, que es el conjunto: $$K_1=\left\{\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(3) Afirmó que la función cotangente es decreciente sobre su dominio, por lo que el valor de $\cot x$ será menor que $-1$ cuando $x$ sea mayor que $\frac{3\pi}{4}$. Por lo tanto, escribió: $$\cot x<-1\Leftrightarrow x > \frac{3\pi}{4}$$
(4) Por último, excluyó los puntos que no estaban en el dominio de $\cot x$ del resultado obtenido en el paso (3) y anotó la solución: $$K=\left(\frac{3\pi}{4};+\infty\right)\backslash \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\cdot\pi\right\}$$ La solución no es correcta. ¿En qué paso se equivocó Robert?
El error está en el paso (1). El dominio de la función cotangente no está especificado correctamente.
El error está en el paso (2). El período en la solución de la ecuación $\cot x=-1$ se ha determinado incorrectamente.
El error está en el paso (3). La función $\cot x$ no es decreciente en todo el dominio.
El error está en el paso (4). No es necesario excluir del intervalo obtenido en el paso (3) los puntos en los que la función no está definida.
Presentemos la solución correcta. La función $\cot x$ es decreciente sólo en intervalos abiertos limitados por dos puntos adyacentes en los que la cotangente no está definida, es decir, en los intervalos: $$\ldots,(-\pi;0),\ (0;\pi),\ (\pi;2\pi),\ (2\pi;3\pi),\ (3\pi;4\pi),\ldots$$ Por lo tanto, podemos encontrar la solución a la desigualdad $\cot x<-1$ en cada intervalo $(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi)$ como: $$\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi<x<\pi+k\cdot\pi,\ \mbox{ where } k\in\mathbb{Z},$$ La solución puede escribirse como la unión de todos los subintervalos correspondientes: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$