Úloha: Riešte nerovnicu $$-2\cdot\sin \frac{x}{3}>1$$ pre $x\in\mathbb{R}$. Marek riešil úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Ekvivalentnými úpravami upravil nerovnicu na tvar:
$$\sin\frac{x}{3}<-\frac12$$
(2) Pomocou substitúcie $\frac x3=a$, získal nerovnicu v tvare:
$$\sin a<-\frac12$$
(3) Vyriešil rovnicu $\sin a=-\frac12$∶
$$a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\ \mbox{ a } a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
(4) Pomocou jednotkovej kružnice vyriešil nerovnicu $\sin a<-\frac12$:
$$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
(5) Získané hodnoty $\frac{7\pi}{6}$ a $\frac{11\pi}{6}$ dosadil späť do substitúcie, vyjadril neznámu $x$, a doplnil periódu:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
Výsledok nie je správny. V ktorom kroku Marek urobil chybu?
Chyba je v kroku (1). Marek nesprávne zmenil znamienko nerovnosti na opačné.
Chyba je v kroku (2). Mal použiť substitúciu $3x=a$ .
Chyba je v kroku (3). Marek nesprávne vyriešil rovnicu $\sin a=-\frac12$.
Chyba je v kroku (4). Marek chybne vyriešil nerovnicu $\sin a<-\frac12$. Mal požiť doplnkovú časť jednotkovej kružnice, t. j. $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\right)$$
Chyba je v kroku (5). Marek nesprávne vyjadril riešenie $K$.
Ukážme si správny postup. Riešením nerovnice $\sin a<-\frac12$ v kroku (4), získavame: $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right) ,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$ Následne hodnoty $a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi$ a $a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi$ dosadíme späť do substitúcie $\frac{x}{3}=a$ a získame dve rovnice. Z nich určíme krajné hodnoty intervalov, ktoré sú riešením nerovnice $\sin\frac{x}{3}<-\frac12$: \begin{aligned} &\frac{x_1}{3}=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_1=\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}\cr &\frac{x_2}{3}=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_2=\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ pre } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Riešením danej nerovnice teda je: $$x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi\right),\ \mbox{ pre }k\in\mathbb{Z}$$
