Řešte nerovnici: $$\mathrm{cotg}\, x<-1\quad\mbox{ pro }x\in\mathbb{R}$$
Robert vyřešil úlohu v následujících krocích:
(1) Určil body, ve kterých funkce $y = \mathrm{cotg}\,x$ není definována a určil tak její definiční obor: $$D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\cdot\pi; k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(2) Robert našel řešení rovnice $\mathrm{cotg}\,x=-1$, což je množina: $$K_1=\left\{\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(3) Uvedl, že funkce kotangens je klesající v celém definičním oboru, takže hodnota funkce $\mathrm{cotg} x$ bude menší než $-1,$ když $x$ bude větší než $\frac{3\pi}{4}$. Takže napsal: $$\mathrm{cotg} x<-1\Leftrightarrow x > \frac{3\pi}{4}$$
(4) Nakonec vyloučil z řešení, které získal v kroku (3) body, které nepatří do definičního oboru funkce $\mathrm{cotg} x$ a napsal konečný výsledek: $$K=\left(\frac{3\pi}{4};+\infty\right)\backslash \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\cdot\pi\right\}$$ Řešení není správné. Ve kterém kroku udělal Robert chybu?
Chyba je v kroku (1). Definiční obor funkce kotangens není určen správně.
Chyba je v kroku (2). Perioda řešení rovnice $\mathrm{cotg} x=-1$ je určena chybně.
Chyba je v kroku (3). Funkce $\mathrm{cotg} x$ není klesající v celém definičním oboru.
Chyba je v kroku (4). Body, ve kterých funkce není definována nemusí být vyloučeny z intervalu získaného v bodu (3).
Ukažme správné řešení. Funkce $\mathrm{cotg} x$ je klesající pouze na otevřených intervalech, ohraničených dvěma sousedními body, ve kterých funkce kotangens není definována, tj. na intervalech: $$\ldots,(-\pi;0),\ (0;\pi),\ (\pi;2\pi),\ (2\pi;3\pi),\ (3\pi;4\pi),\ldots$$ Proto můžeme najít řešení nerovnice $\mathrm{cotg} x<-1$ na každém intervalu $(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi)$ jako: $$\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi<x<\pi+k\cdot\pi,\ \mbox{ kde } k\in\mathbb{Z},$$ Řešení můžeme zapsat jako sjednocení intervalů: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$