Úkol: Řešte nerovnici $$-2\cdot\sin \frac{x}{3}>1$$ pro $x\in\mathbb{R}$. Marek řešil úlohu v následujících krocích:
(1) Ekvivalentními úpravami převedl nerovnici na tvar:
$$\sin\frac{x}{3}<-\frac12$$
(2) Substitucí $\frac x3=a$, získal nerovnici ve tvaru:
$$\sin a<-\frac12$$
(3) Vyřešil rovnici $\sin a=-\frac12$∶
$$a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\ \mbox{ a } a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
(4) Pomocí jednotkové kružnice vyřešil nerovnici $\sin a<-\frac12$:
$$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
(5) Získané hodnoty $\frac{7\pi}{6}$ a $\frac{11\pi}{6}$ dosadil zpět do substituce , vyjádřil neznámou $x$, a doplnil periodu:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
Výsledek není správný. Ve kterém kroku Marek udělal chybu?
Chyba je v kroku (1). Marek nesprávně změnil znaménko nerovnosti na opačné.
Chyba je v kroku (2). Měla být použita substituce $3x=a$ .
Chyba je v kroku (3). Marek chybně vyřešil rovnici $\sin a=-\frac12$.
Chyba je v kroku (4). Marek chybně vyřešil nerovnici $\sin a<-\frac12$. Měl zvolit doplňkovou část jednotkové kružnice, tj. $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\right)$$
Chyba je v kroku (5). Marek špatně vyjádřil řešení $K$.
Ukažme si správný postup. Ŕešením nerovnice $\sin a<-\frac12$ v kroku (4), získáváme: $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right) ,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$ Poté hodnoty $a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi$ a $a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi$ dosadíme zpět do substituce $\frac{x}{3}=a$ a získáme dvě rovnice. Z nich určíme krajní hodnoty intervalů, které jsou řešením nerovnice $\sin\frac{x}{3}<-\frac12$: \begin{aligned} &\frac{x_1}{3}=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_1=\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}\cr &\frac{x_2}{3}=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_2=\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ pro } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Řešením dané nerovnice tedy je: $$x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi\right),\ \mbox{ pro }k\in\mathbb{Z}$$
