Task: Resolver la desigualdad $$-2\cdot\sin \frac{x}{3}>1$$ for $x\in\mathbb{R}$. Marek resolvió la tarea siguiendo los siguientes pasos:
(1) Aplicó las transformaciones equivalentes para convertir la desigualdad a la forma: $$\sin\frac{x}{3}<-\frac12$$ (2) Sustituyendo $\frac x3=a$, obtuvo la desigualdad: $$\sin a<-\frac12$$ (3) Resolvió la ecuación $\sin a=-\frac12$∶ $$a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\ \mbox{ and } a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$ (4) Con la ayuda del circulo de la unidad, resolvió la desigualdad $\sin a<-\frac12$:
$$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
(5) Sustituyó los valores obtenidos $\frac{7\pi}{6}$ y $\frac{11\pi}{6}$ de nuevo, expresó la incógnita $x$, y añadió el período:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
El resultado no es correcto. ¿En qué paso cometió un error Marek?
El error está en el paso (1). Marek cambió incorrectamente el signo de la desigualdad por el contrario.
El error está en el paso (2). Se debería haber utilizado la sustitución $3x=a$ .
El error está en el paso (3). Marek resolvió incorrectamente la ecuación $\sin a=-\frac12$.
El error está en el paso (4). Marek resolvió incorrectamente la desigualdad $\sin a<-\frac12$. Debería haber elegido la parte complementaria del círculo de la unidad, i.e., $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\right)$$
El error está en el paso (5). Marek expresó incorrectamente la solución $K$ .
Vamos a mostrar el procedimiento correcto. Resolviendo la desigualdad $\sin a<-\frac12$ en el paso (4), obtenemos: $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right) ,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$ A continuación, sustituimos los valores $a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi$ and $a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi$ en la sustitución $\frac{x}{3}=a$ y obtenemos dos ecuaciones. A partir de ellas, determinamos los puntos extremos de los intervalos que son soluciones de la desigualdad $\sin\frac{x}{3}<-\frac12$: \begin{aligned} &\frac{x_1}{3}=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_1=\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}\cr &\frac{x_2}{3}=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_2=\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ for } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Por lo tanto, la solución a la desigualdad dada es: $$x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi\right),\ \mbox{ for }k\in\mathbb{Z}$$
