Zadanie: Rozwiąż nierówność $$-2\cdot\sin \frac{x}{3}>1$$ dla $x\in\mathbb{R}$. Marek rozwiązał zadanie, wykonując następujące kroki: (1) Zastosował równoważne przekształcenia, aby przekształcić nierówność do postaci: $$\sin\frac{x}{3}<-\frac12$$ (2) Zastępując $\frac x3=a$, uzyskał nierówność: $$\sin a<-\frac12$$ (3) Rozwiązał równanie $\sin a=-\frac12$∶ $$a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\ \mbox{ i } a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi,\ \mbox{ dla } k\in\mathbb{Z}$$ (4) Za pomocą okręgu jednostkowego rozwiązał nierówność $\sin a<-\frac12$:
$$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$
(5) Zastąpił uzyskane wartości $\frac{7\pi}{6}$ i $\frac{11\pi}{6}$ z powrotem, wyraził nieznane $x$, i dodał okres:
$$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot2\pi\right),\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}$$
Wynik nie jest prawidłowy. W którym kroku Marek popełnił błąd?
Błąd znajduje się w kroku (1). Marek nieprawidłowo zmienił znak nierówności na przeciwny.
Błąd występuje w kroku (2). Należało użyć podstawienia $3x=a$.
Błąd znajduje się w kroku (3). Marek nieprawidłowo rozwiązał równanie $\sin a=-\frac12$.
Błąd znajduje się w kroku (4). Marek nieprawidłowo rozwiązał nierówność $\sin a<-\frac12$. Powinien był wybrać uzupełniającą część okręgu jednostkowego, tj, $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\right)$$
Błąd występuje w kroku (5). Marek wyraził rozwiązanie $K$ nieprawidłowo.
Pokażmy prawidłową procedurę. Rozwiązując nierówność $\sin a<-\frac12$ w kroku (4), otrzymujemy: $$a\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi;\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\right) ,\ \mbox{ dla } k\in\mathbb{Z}$$ Następnie podstawiamy wartości $a_1=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi$ i $a_2=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi$ z powrotem do podstawienia $\frac{x}{3}=a$ i otrzymujemy dwa równania. Na ich podstawie wyznaczamy punkty końcowe przedziałów, które są rozwiązaniami nierówności $\sin\frac{x}{3}<-\frac12$: \begin{aligned} &\frac{x_1}{3}=\frac{7\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_1=\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ dla }k\in\mathbb{Z}\cr &\frac{x_2}{3}=\frac{11\pi}{6}+k\cdot2\pi\Rightarrow x_2=\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi,\ \mbox{ dla } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Zatem rozwiązaniem podanej nierówności jest: $$x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{7\pi}{2}+k\cdot6\pi;\frac{11\pi}{2}+k\cdot6\pi\right),\ \mbox{ dla } k\in\mathbb{Z}$$
