Nájdite uhol $x$, ktorý je riešením rovnice: $$3\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4-7\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Na výpočet uhla použite kalkulačku. Výsledný uhol zaokrúhlite na jedno desatinné miesto.
Riešenie Janky: (1) Presunutím všetkých členov obsahujúcich kosínus na jednu stranu rovnice a ich sčítaním získala Jana zjednodušenú rovnicu: \begin{aligned} 10\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=4\cr \cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=0{,}4 \end{aligned}
(2) Pomocou substitúcie $b=\frac{x}{3}+30^\circ$ ďalej zjednodušila rovnicu na: $$\cos b=0{,}4$$
(3) Túto základnú goniometrickú rovnicu potom vyriešila pomocou kalkulačky. Po zaokrúhlení na jedno desatinné miesto určila hodnotu substituovanej premennej ako: $$b\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}$$
(4) Nakoniec po spätnej substitúcii a riešení pre $x$ zistila: \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&=66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z} \end{aligned}
Jana však urobila chybu v jednom kroku. Určte tento nesprávny krok.
Chyba je v kroku (1). Jana urobila chybu pri zjednodušení rovnice. Správne zjednodušená rovnica mala byť: $$-4\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4$$
Chyba je v kroku (2). Substitúcia mala byť: $$b=\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Potom by substituovaná premenná bola $b=0{,}4$.
Chyba je v kroku (3). Rovnica $\cos b=0{,}4$ má dve riešenia na intervale $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$.
Chyba je v kroku (4). Pri riešení pre $x$ Jana nesprávne určila periódu. Správny výsledok mal byť: \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&\approx66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}
Rovnica $\cos b=0{,}4$ má dve riešenia na intervale $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$. Kalkulačka však zobrazí iba riešenie z prvého kvadrantu!
Okrem riešenia z prvého kvadrantu: $$b_1\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ$$ musíme zahrnúť aj riešenie zo štvrtého kvadrantu: $$b_2\approx\left(360^\circ-66{,}4^\circ\right)+k\cdot360^\circ$$
Nakoniec sa musíme vrátiť k substitúcii a vyriešiť rovnicu pre neznámu $x$: Pre riešenie z prvého kvadrantu: \begin{aligned} b_1&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_1}{3}+30^\circ&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot 360^\circ\cr \frac{x_1}{3}&\approx 36{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned}
Pre riešenie zo štvrtého kvadrantu: \begin{aligned} b_2&\approx293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_2}{3}+30^\circ&\approx 293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr \frac{x_2}{3}&\approx263{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_2&\approx790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned}
Správny výsledok je: \begin{aligned} x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z}\cr x_2&\approx 790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ kde }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}