Úkol: Vyřešte nerovnici: $$\mathrm{cotg}\,x < \sqrt3\ \mbox{ pro }\ x\in\mathbb{R}$$ Marie vyřešila úlohu v následujících krocích:
(1) Stanovila body, ve kterých funkce kotangens není definována: $$x=k\cdot\pi,\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$
(2) Sestavila a vyřešila rovnici $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$: $$x=\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi,\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$ (3) Prohlásila, že funkce kotangens je klesající na každém otevřeném intervalu, který je omezen dvěma po sobě jdoucími body, ve kterých není definována, tj. na intervalech: $$\left(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$ (4) Marie dále tvrdila, že z předchozích kroků vyplývá, že pro každé $k\in\mathbb{Z}$: $$\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3\Leftrightarrow 0+k\cdot\pi< x < \frac{\pi}{6}+k\cdot\pi$$ (5) Nakonec napsala řešení nerovnice získané v předchozím kroku: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(0+k\cdot\pi;\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi\right)$$ Řešení je nesprávné. Ve kterém kroku Marie udělala chybu?
Chyba je v kroku (1). Marie chybně určila body, ve kterých funkce kotangens není definována.
Chyba je v kroku (2). Marie špatně vyřešila rovnici $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$.
Chyba je v kroku (3). Funkce kotangens je klesající na celém definičním oboru.
Chyba je v kroku (4). Marie chybně použila vlastnost funkce kotangens popsanou v kroku (3) při řešení nerovnice $\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3$.
Funkce kotangens je klesající na každém otevřeném intervalu, který je omezen dvěma po sobě jdoucími body, ve kterých funkce není definována, tj. na intervalech $$\left(0+k\cdot\pi; \pi+k\cdot\pi\right),\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}.$$ Proto v každém z těchto intervalů (tj. pro každé $k\in\mathbb{Z}$), platí (viz obrázek): $$\mathrm{cotg}\, x< \sqrt3\Leftrightarrow\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi< x< \pi+k\cdot\pi$$
Řešení nerovnice $\mathrm{cotg}\, x< \sqrt3$ můžeme zapsat jako: $$K=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$
