Riešte nerovnicu: $$\mathrm{cotg}\,x<-1\quad\mbox{ pre }x\in\mathbb{R}$$
Róbert vyriešil úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Určil body, v ktorých funkcia $y = \mathrm{cotg}\,x$ nie je definovaná a určil tak jej definičný obor: $$D=\mathbb{R}\backslash\left\{k\cdot\pi; k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(2) Róbert našiel riešenie rovnice $\mathrm{cotg}\,x=-1$, čo je množina: $$K_1=\left\{\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;k\in\mathbb{Z}\right\}$$
(3) Povedal, že funkcia kotangens je klesajúca na celom definičnom obore, takže hodnota funkcie $\mathrm{cotg} x$ bude menšia ako $-1$, keď $x$ bude väčšie ako $\frac{3\pi}{4}$. Takže zapísal: $$\mathrm{cotg} x<-1\Leftrightarrow x > \frac{3\pi}{4}$$
(4) Nakoniec vylúčil z riešenia, ktoré získal v kroku (3) body, ktoré nepatria do definičného oboru funkcie $\mathrm{cotg} x$ a napísal konečný výsledok: $$K=\left(\frac{3\pi}{4};+\infty\right)\backslash \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{k\cdot\pi\right\}$$ Riešenie nie je správne. V ktorom kroku urobil Róbert chybu?
Chyba je v kroku (1). Definičný obor funkcie kotangens nie je určený správne.
Chyba je v kroku (2). Perióda riešenia rovnice $\mathrm{cotg} x=-1$ je určená chybne.
Chyba je v kroku (3). Funkcia $\mathrm{cotg} x$ nie je klesajúca na celom definičnom obore.
Chyba je v kroku (4). Body, v ktorých nie je funkcia definovaná nemusia byť vylúčené z intervalu získaného v bode (3).
Ukážme si správne riešenie. Funkcia $\mathrm{cotg} x$ je klesajúca len na otvorených intervaloch ohraničených dvoma susednými bodmi, v ktorých funkcia kotangens nie je definovaná, t. j. na intervaloch: $$\ldots,(-\pi;0),\ (0;\pi),\ (\pi;2\pi),\ (2\pi;3\pi),\ (3\pi;4\pi),\ldots$$ Preto môžeme nájsť riešenie nerovnice $\mathrm{cotg} x<-1$ na každom intervale $(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi)$ ako: $$\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi<x<\pi+k\cdot\pi,\ \mbox{ kde } k\in\mathbb{Z},$$ Riešenie môžeme zapísať ako zjednotenie intervalov: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(\frac{3\pi}{4}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$