Kužeľosečky

9000117705

Časť: 
C
Z ponúknutých možností vyberte tú dvojicu fyzikálnych veličín, ktorých graficky vyjadrená závislosť tvorí časť paraboly. (Ostávajúce veličiny vo vzťahu považujeme za konštantné).
Práca elektrických síl (\(W\)) a veľkosť elektrického prúdu (\(I\)), ak \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).
Hmotnosť (\(m\)) a zrýchlenie (\(a\)) telesa, ak \(F = m\cdot a\).
Výška nad podložkou (\(h\)) a polohová energia (\(E_{p}\)), ak \(E_{p} = mgh\).
Práca elektrických síl (\(W\)) a doba (\(t\)), počas ktorej preteká prúd, ak \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).

9000117706

Časť: 
C
Pre pohyb telies (družíc) v blízkom okolí Zeme je dôležitá tzv. kruhová rýchlosť. Telesá s touto rýchlosťou sa pohybujú po kruhovej trajektórii, pričom Zem je v strede tejto trajektórie. V blízkosti povrchu Zeme sa tejto rýchlosti hovorí „1. kozmická rýchlosť” a jej hodnota je \(7{,}9\, \mathrm{km}/\mathrm{s}\). Hodnotu kruhovej rýchlosti vo výške \(h\) nad zemským povrchom určuje vzťah: \(v = \sqrt{ \frac{\kappa \cdot M_{Z } } {R_{Z}+h}}\), kde \(M_{Z}\) je hmotnosť Zeme, \(R_{Z}\) je polomer Zeme a \(\kappa \) je gravitačná konštanta. Vyberte správnu rovnicu kruhovej trajektórie družice, ktorá sa v okamžiku štartu nachádza vo výške \(h\) nad zemským povrchom v sústave, kde os \(y\) spojuje stred Zeme s miestom štartu družice a počiatok sústavy je na povrchu Zeme.
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = h^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = h^{2}\)

9000120005

Časť: 
B
Pre organizáciu celotáborovej hry je dôležité, aby vzdušná vzdialenosť kuchyňa - stan - ohnisko bola pre všetky stany rovnaká. Dá sa z tejto informácie odvodiť, že stany ležia na jednej kužeľosečke? Pokiaľ áno, tak na ktorej?
Áno, stany ležia na elipse.
Áno, stany ležia na kružnici.
Áno, stany ležia na parabole.
Áno, stany ležia na hyperbole.
Ne, z tejto informácie nemožno odvodiť, že by stany ležali na nejakej konkrétnej kužeľosečke.

9000106903

Časť: 
C
Grafom funkčnej závislosti dráhy na čase rovnomerne zrýchleného pohybu je časť paraboly. Funkcia je určená rovnicou \(s = \frac{1} {2}at^{2}\). Určte rovnicu riadiacej priamky paraboly, ak sa teleso začalo pohybovať v čase \(t = 0\, \mathrm{s}\) a pohybuje sa so zrýchlením \(a = 4\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\(s = -\frac{1} {8}\)
\(s = -1\)
\(s = \frac{1} {8}\)
\(s = 1\)

9000106901

Časť: 
C
Okamžitá poloha šikmo hore vrhnutého telesa je v homogénnom gravitačnom poli Zeme opísaná rovnicami: \[\begin{aligned} x & = v_{0}t\cdot \cos \alpha , & & \\y & = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1} {2}gt^{2}. & & \end{aligned}\] V prípade, že pohyb nieje brzdený odporovými silami, je jeho trajektóriou časť paraboly. Určte rovnicu paraboly, po ktorých častiach sa pohybuje teleso, ktoré je vrhnuté pod uhlom \(\alpha = 45^{\circ }\) počiatočnou rýchlosťou \(v_{0} = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Ťahové zrýchlenie zaokrúhlite na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\((x - 5)^{2} = -10\cdot (y - 2{,}5)\)
\((x - 5)^{2} = 10\cdot (y + 2{,}5)\)
\(x^{2} = -10\cdot (y - 5)\)
\((x - 5)^{2} = -10\cdot (y + 2{,}5)\)

9000106902

Časť: 
C
Planétka obieha okolo Slnka po eliptické trajektórii, pričom vzdialenosť v perihéliu je \(4{,}5\) AU (AU je tzv. astronomická jednotka, perihélium je miesto, v ktorom má planétka minimálnu vzdialenosť od Slnka) a excentricita elipsy je \(0{,}5\) AU. Určte, ktorá z ponúknutých rovníc vyjadruje túto elipsu v sústave súradníc, v jej strede bude Slnko a os „\(x\) ” bude určená hlavnou osou elipsy.
\(\frac{(x-0{,}5)^{2}} {25} + \frac{y^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{x^{2}} {25} + \frac{(y-0{,}5)^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{x^{2}} {25} + \frac{y^{2}} {24{,}75} = 1\)
\(\frac{(x-0{,}5)^{2}} {24{,}75} + \frac{y^{2}} {25} = 1\)

9000106904

Časť: 
C
Grafom funkčnej závislosti dráhy na čase rovnomerne spomaleného pohybu je časť paraboly. Funkcia je určená rovnicou \(s = v_{0}t -\frac{1} {2}at^{2}\). Určte súradnice ohniska tejto paraboly, ak teleso začalo spomaľovať v čase \(t = 0\, \mathrm{s}\) a počiatočná rýchlosť telesa bola \(v_{0} = 16\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Spomalenie má hodnotu \(a = 4\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\([4;\ 31{,}875]\)
\([8;\ 31{,}875]\)
\([4;\ 63{,}5]\)
\([8;\ 63{,}5]\)

9000106905

Časť: 
C
Grafom funkčnej závislosti dráhy na čase rovnomerne spomaleného pohybu je časť paraboly. Funkcia je určená rovnicou \(s = v_{0}t -\frac{1} {2}at^{2}\). Určte vrcholovú rovnicu tejto paraboly, ak je v čase \(t = 0\, \mathrm{s}\) počiatočná rýchlosť telesa \(v_{0} = 8\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) a zrýchlenie \(a = 4\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\).
\(-\frac{1} {2}(s - 8) = (t - 2)^{2}\)
\(\frac{1} {2}(s + 4) = (t + 2)^{2}\)
\(2(s + 8) = (t + 2)^{2}\)
\(- 2(s + 4) = (t + 2)^{2}\)