Kužeľosečky

9000123108

Časť: 
C
Všetky dotyčnice hyperboly \(x^{2} - 2y^{2} = 8\), ktorých odchýlka s osou \(x\) je rovná \(45^{\circ}\), majú rovnice:
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\text{, }y = -x + 2\text{, }y = -x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = x - 2\)
\(y = x + 2\text{, }y = -x + 2\)
\(y = x + 2\)

9000123103

Časť: 
C
Je daná elipsa \(5x^{2} + 9y^{2} = 45\) a jej dotyčnica \(2x + 3y = 9\). Určte všetky hodnoty parametra \(k\in \mathbb{R}\) tak, aby priamka \(y = kx + 3\) bola sečnica zadanej elipsy.
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right )\cup \left (\frac{2} {3};\infty \right )\)
\(k\in \left \langle -\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right \rangle \)
\(k\in \left (-\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right )\)
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right \rangle \cup \left \langle \frac{2} {3};\infty \right )\)

9000117701

Časť: 
C
Teleso vrhnuté šikmo hore pod uhlom \(\alpha = 30^{\circ }\) začiatočná rýchlosť o veľkosti \(v_{0} = 20\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\) opisuje pri svojom pohybe časť paraboly. Určte rovnicu riadiacej priamky tejto paraboly. (Okamžitá poloha šikmo hore hodeného telesa je v homogénnom gravitačnom poli Zeme popísaná rovnicami: \(x = v_{0}t\cdot \cos \alpha \), \(y = v_{0}t\cdot \sin \alpha -\frac{1} {2}gt^{2}\). Tiažové zrýchlenie zaokrúhlite na hodnotu \(g = 10\, \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\)).
\(y = 20\)
\(y = 5\)
\(y = 15\)
\(y = 10\)

9000117702

Časť: 
C
Zem sa pohybuje okolo Slnka po eliptickej trajektórií, pričom Slnko je v ohnisku tejto elipsy. Aká je veľkosť vedľajšej polosi, ak vieme, že maximálna vzdialenosť Zeme od Slnka (tzv. afélium) je \(152{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\) a minimálna vzdialenosť Zeme od Slnka (tzv. perihélium) je \(147{,}1\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\). (Výsledok zaokrúhlite na desaťtisíce km.)
\(149{,}58\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(2{,}58\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(299{,}21\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)
\(149{,}61\cdot 10^{6}\, \mathrm{km}\)

9000117703

Časť: 
C
Tzv. „izotermický dej” s ideálnym plynom môžeme popísať rovnicou \(pV = \mathrm{konst.}\), kde \(p\) tlak ideálneho plynu, \(V \) je jeho objem. Graf funkčnej závislosti tlaku ideálneho plynu stálej hmotnosti na jeho objemu pri konštantnej teplote sa nazýva izoterma. Izoterma je časť hyperboly. Ak je to na základe vyššie uvedených informácií možné, napíšte rovnice asymptot tejto hyperboly. V opačnom prípade označte, že asymptoty nie je možné určiť.
\(p = 0,\ V = 0\)
\(p = V,\ p = -V \)
\(p = 0,\ p = V \)
Rovnice asymptot sú závislé na číselnom určení „konštanty”, takže asymptoty nie je možné určiť rovnicami.

9000120007

Časť: 
B
V meste je niekoľko miest, ktoré sú rovnako vzdialené od rieky i od mestskej radnice. Vyberte krivku, ktorou sa dajú všetky tieto miesta na mape prepojiť za predpokladu, že tok rieky je na mape mesta a jeho okolia zobrazený priamkou a radnica bodom.
Parabola
Kružnica
Elipsa
Hyperbola
Žiadnou z vyššie uvedených kužeľosečiek nemožno spomínané miesta prepojiť.

9000117704

Časť: 
C
Z ponúknutých možností vyberte tú dvojicu fyzikálnych veličín, ktorých graficky vyjadrená závislosť tvorí časť hyperboly. (Ostávajúce veličiny vo vzťahoch považujeme za konštantné).
Tlak (\(p\)) a plocha (\(S\)), na ktorú pôsobí tlaková sila, ak \(F = p\cdot S\).
Hmotnosť (\(m\)) a kinetická energia (\(E_{k}\)) telesa, ak \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Rýchlosť (\(v\)) a kinetická energia (\(E_{k}\)) telesa, ak \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Hmotnosť (\(m\)) a polohová energie (\(E_{p}\)), ak \(E_{p} = mgh\).