Kužeľosečky

9000123103

Časť: 
C
Je daná elipsa \(5x^{2} + 9y^{2} = 45\) a jej dotyčnica \(2x + 3y = 9\). Určte všetky hodnoty parametra \(k\in \mathbb{R}\) tak, aby priamka \(y = kx + 3\) bola sečnica zadanej elipsy.
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right )\cup \left (\frac{2} {3};\infty \right )\)
\(k\in \left \langle -\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right \rangle \)
\(k\in \left (-\frac{2} {3}; \frac{2} {3}\right )\)
\(k\in \left (-\infty ;-\frac{2} {3}\right \rangle \cup \left \langle \frac{2} {3};\infty \right )\)

9000123107

Časť: 
C
Ktorá z uvedených priamok má s hyperbolou \(x^{2} - y^{2} = 5\) práve jeden spoločný bod a pritom nie je jej dotyčnica?
\(p\colon \frac{x} {5} + \frac{y} {5} = 1\)
\(p\colon y = 5x\)
\(p\colon 2x + y = 5\)
\(\begin{aligned}p\colon x& = 1; & \\y & = -1 + t\text{, }t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000120007

Časť: 
B
V meste je niekoľko miest, ktoré sú rovnako vzdialené od rieky i od mestskej radnice. Vyberte krivku, ktorou sa dajú všetky tieto miesta na mape prepojiť za predpokladu, že tok rieky je na mape mesta a jeho okolia zobrazený priamkou a radnica bodom.
Parabola
Kružnica
Elipsa
Hyperbola
Žiadnou z vyššie uvedených kužeľosečiek nemožno spomínané miesta prepojiť.

9000117704

Časť: 
C
Z ponúknutých možností vyberte tú dvojicu fyzikálnych veličín, ktorých graficky vyjadrená závislosť tvorí časť hyperboly. (Ostávajúce veličiny vo vzťahoch považujeme za konštantné).
Tlak (\(p\)) a plocha (\(S\)), na ktorú pôsobí tlaková sila, ak \(F = p\cdot S\).
Hmotnosť (\(m\)) a kinetická energia (\(E_{k}\)) telesa, ak \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Rýchlosť (\(v\)) a kinetická energia (\(E_{k}\)) telesa, ak \(E_{k} = \frac{1} {2}\cdot m\cdot v^{2}\).
Hmotnosť (\(m\)) a polohová energie (\(E_{p}\)), ak \(E_{p} = mgh\).

9000117705

Časť: 
C
Z ponúknutých možností vyberte tú dvojicu fyzikálnych veličín, ktorých graficky vyjadrená závislosť tvorí časť paraboly. (Ostávajúce veličiny vo vzťahu považujeme za konštantné).
Práca elektrických síl (\(W\)) a veľkosť elektrického prúdu (\(I\)), ak \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).
Hmotnosť (\(m\)) a zrýchlenie (\(a\)) telesa, ak \(F = m\cdot a\).
Výška nad podložkou (\(h\)) a polohová energia (\(E_{p}\)), ak \(E_{p} = mgh\).
Práca elektrických síl (\(W\)) a doba (\(t\)), počas ktorej preteká prúd, ak \(W = R\cdot I^{2}\cdot t\).

9000117706

Časť: 
C
Pre pohyb telies (družíc) v blízkom okolí Zeme je dôležitá tzv. kruhová rýchlosť. Telesá s touto rýchlosťou sa pohybujú po kruhovej trajektórii, pričom Zem je v strede tejto trajektórie. V blízkosti povrchu Zeme sa tejto rýchlosti hovorí „1. kozmická rýchlosť” a jej hodnota je \(7{,}9\, \mathrm{km}/\mathrm{s}\). Hodnotu kruhovej rýchlosti vo výške \(h\) nad zemským povrchom určuje vzťah: \(v = \sqrt{ \frac{\kappa \cdot M_{Z } } {R_{Z}+h}}\), kde \(M_{Z}\) je hmotnosť Zeme, \(R_{Z}\) je polomer Zeme a \(\kappa \) je gravitačná konštanta. Vyberte správnu rovnicu kruhovej trajektórie družice, ktorá sa v okamžiku štartu nachádza vo výške \(h\) nad zemským povrchom v sústave, kde os \(y\) spojuje stred Zeme s miestom štartu družice a počiatok sústavy je na povrchu Zeme.
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = (R_{Z} + h)^{2}\)
\(x^{2} + (y + R_{Z})^{2} = h^{2}\)
\(x^{2} + y^{2} = h^{2}\)

9000120005

Časť: 
B
Pre organizáciu celotáborovej hry je dôležité, aby vzdušná vzdialenosť kuchyňa - stan - ohnisko bola pre všetky stany rovnaká. Dá sa z tejto informácie odvodiť, že stany ležia na jednej kužeľosečke? Pokiaľ áno, tak na ktorej?
Áno, stany ležia na elipse.
Áno, stany ležia na kružnici.
Áno, stany ležia na parabole.
Áno, stany ležia na hyperbole.
Ne, z tejto informácie nemožno odvodiť, že by stany ležali na nejakej konkrétnej kužeľosečke.